Produto de dois binômios

Quando dois binômios possuem o mesmo primeiro termo, o produto segue um padrão: o quadrado do termo comum, mais a soma dos outros termos multiplicada pelo termo comum, mais o produto dos outros termos.

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Demonstração

(x + a)(x + b) = x² + bx + ax + ab
= x² + (a + b)x + ab

Primeiro termox · x = x²

Termo central(a + b)x

Termo constantea · b

Exemplos com termo comum

Exemplo 1: desenvolva (x + 3)(x + 7).

x² + (3 + 7)x + 3 · 7

= x² + 10x + 21

Exemplo 2: desenvolva (x − 4)(x + 2).

x² + (−4 + 2)x + (−4) · 2

= x² − 2x − 8

Exemplo 3: desenvolva (y − 5)(y − 6).

= y² − 11y + 30

Atenção aos sinais: em (x − 3)(x + 8), a soma é −3 + 8 = 5 e o produto é −3 · 8 = −24.

Binômios sem termo comum idêntico

Quando os primeiros termos são diferentes, aplicamos a propriedade distributiva. Para (ax + b)(cx + d), temos:

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd

Exemplo 4: desenvolva (2x + 3)(3x − 4).

6x² − 8x + 9x − 12

= 6x² + x − 12

Aplicação em áreas

Um retângulo de lados x + 4 e x + 9 possui área:

A = (x + 4)(x + 9) = x² + 13x + 36

Pratique

(x + 2)(x + 9)
(x − 5)(x + 4)
(y − 3)(y − 8)
(2x + 1)(3x + 5)
Determine a área de um retângulo de lados x + 6 e x + 2.

Respostas: 1) x² + 11x + 18; 2) x² − x − 20; 3) y² − 11y + 24; 4) 6x² + 13x + 5; 5) x² + 8x + 12.

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