Produto da soma pela diferença

O produto da soma de dois termos pela diferença desses mesmos termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Os fatores (a + b) e (a − b) são chamados de binômios conjugados.

(a + b)(a − b) = a² − b²

Demonstração

(a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b²
= a² − b²

Produtos extremosa · a = a²
b · (−b) = −b²

Produtos centrais−ab e +ab

Cancelamento−ab + ab = 0

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: desenvolva (x + 5)(x − 5).

= x² − 25

Exemplo 2: desenvolva (3a + 2b)(3a − 2b).

(3a)² − (2b)²

= 9a² − 4b²

Exemplo 3: desenvolva (2x − 7)(2x + 7).

= 4x² − 49

A ordem dos fatores não altera o produto.

Não confunda: (a − b)² possui três termos quando desenvolvido. Já (a + b)(a − b) resulta em apenas dois termos: a² − b².

Aplicação em cálculo mental

Exemplo 4: calcule 101 · 99.

101 · 99 = (100 + 1)(100 − 1)

= 100² − 1² = 9999

O caminho inverso

A diferença de dois quadrados pode ser escrita como um produto de binômios conjugados. Esse procedimento será muito importante no estudo da fatoração.

x² − 36 = (x + 6)(x − 6)

Pratique

(x + 8)(x − 8)
(4a + 3)(4a − 3)
(5m − 2n)(5m + 2n)
Calcule 52 · 48 usando o produto notável.
Escreva y² − 81 como um produto.

Respostas: 1) x² − 64; 2) 16a² − 9; 3) 25m² − 4n²; 4) 2496; 5) (y + 9)(y − 9).

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