Problemas com equações fracionárias

As equações fracionárias aparecem em situações que envolvem taxas, tempo, velocidade, divisão de quantidades e medidas. O principal desafio é traduzir corretamente o enunciado para a linguagem algébrica e interpretar apenas as soluções compatíveis com o problema.

Roteiro: escolha a incógnita, escreva as grandezas em função dela, monte a equação, registre as restrições, resolva e interprete o resultado no contexto.

⏱Exemplo 1: trabalho em conjunto

Uma torneira enche um reservatório em 6 horas. Trabalhando com outra torneira, elas enchem o reservatório em 4 horas. Em quanto tempo a segunda torneira faria o serviço sozinha?

Se x é o tempo da segunda torneira, as taxas por hora são 1/6, 1/x e 1/4:

16 + 1x = 14

Com x ≠ 0, multiplicamos por 12x: 2x + 12 = 3x. Portanto, x = 12. A segunda torneira levaria 12 horas sozinha.

🚗Exemplo 2: aumento de velocidade

Um automóvel percorre 240 km. Se a velocidade fosse aumentada em 20 km/h, a viagem duraria uma hora a menos. Qual era a velocidade inicial?

O tempo é distância dividida pela velocidade. Logo:

240x − 240x + 20 = 1

As restrições são x ≠ 0 e x ≠ −20. Multiplicando por x(x + 20), obtemos 4.800 = x² + 20x. As raízes são 60 e −80. Uma velocidade não pode ser negativa; portanto, a velocidade inicial era 60 km/h.

💰Exemplo 3: divisão de uma despesa

Um grupo dividiria igualmente uma despesa de R$ 720,00. Como três pessoas desistiram, cada participante restante pagou R$ 40,00 a mais. Quantas pessoas havia inicialmente?

Se x é o número inicial de pessoas, temos:

720x − 3 = 720x + 40

Com x ≠ 0 e x ≠ 3, a eliminação dos denominadores produz x² − 3x − 54 = 0. As raízes são 9 e −6. Como o número de pessoas deve ser natural e maior que 3, havia 9 pessoas.

▭Exemplo 4: dimensões de um retângulo

Um retângulo tem área de 60 m². Seu comprimento mede 7 m a mais que a largura. Quais são suas dimensões?

Se x é a largura, o comprimento também pode ser escrito como 60/x. Assim:

60x = x + 7

Obtemos x² + 7x − 60 = 0, cujas raízes são 5 e −12. Descartamos a medida negativa. Logo, a largura mede 5 m e o comprimento, 12 m.

Interpretação é indispensável: uma raiz pode satisfazer a equação e ainda assim não servir ao problema, como ocorre com tempos, velocidades, quantidades de pessoas e medidas negativas.

Pratique

Uma máquina realiza um serviço em 8 horas. Com outra máquina, o mesmo serviço é concluído em 6 horas. Quanto tempo a segunda máquina levaria sozinha?
Um número positivo somado ao seu inverso é igual a 5/2. Determine o número.
Um retângulo tem área de 48 cm² e comprimento 2 cm maior que a largura. Determine suas dimensões.

Respostas: 1) 24 horas; 2) 2 ou 1/2; 3) largura de 6 cm e comprimento de 8 cm.

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