📄 Inequações envolvendo seno
📄 Inequações envolvendo cosseno
📄 Inequações envolvendo tangente
📄 Inequações trigonométricas com identidades
📄 Problemas resolvidos de inequações trigonométricas
📄 Exercícios de inequações trigonométricas
Problemas resolvidos de inequações trigonométricas
Em aplicações, a desigualdade costuma estar escondida em frases como “pelo menos”, “acima de”, “no máximo” ou “abaixo de”. O primeiro passo é traduzir essa condição para símbolos; depois resolvemos a inequação e interpretamos o intervalo no contexto.
Problema 1 — Cabine de uma roda-gigante
A altura, em metros, de uma cabine durante uma volta é h(t) = 12 + 10 sen t, com 0 ≤ t < 2π. Em quais posições angulares a cabine fica a pelo menos 17 m do solo?
- “Pelo menos 17 m” significa h(t) ≥ 17:
- Isolamos o seno:
- No círculo trigonométrico, sen t = 1/2 em π/6 e 5π/6. Entre esses ângulos, o seno é maior ou igual a 1/2.
Resposta: π/6 ≤ t ≤ 5π/6. Nesse trecho da volta, a cabine está a 17 m ou mais.
Problema 2 — Intensidade luminosa
Durante um teste, a intensidade de uma lâmpada é modelada por I(t) = 50 + 30 cos t, para 0 ≤ t < 2π. Determine quando a intensidade fica abaixo de 35 unidades.
- Montamos a desigualdade:
- Isolamos cos t:
- O cosseno vale −1/2 em 2π/3 e 4π/3. Ele é menor que −1/2 entre esses pontos.
Resposta: 2π/3 < t < 4π/3. Os extremos não entram porque o problema diz “abaixo”, e não “abaixo ou igual”.
Problema 3 — Inclinação periódica de um mecanismo
A inclinação de uma peça é proporcional a tg t. Por segurança, o mecanismo só pode operar quando −1 ≤ tg t ≤ 1. Determine o intervalo seguro no ramo −π/2 < t < π/2.
- Nesse ramo, a tangente é crescente.
- As igualdades tg t = −1 e tg t = 1 ocorrem, respectivamente, em −π/4 e π/4.
- Como os limites são permitidos, os extremos pertencem à solução.
Resposta: −π/4 ≤ t ≤ π/4.
Problema 4 — Temperatura periódica
A variação de temperatura de um equipamento é dada por T(t) = 20 + 4 cos(2t), com 0 ≤ t < π. Para quais valores de t a temperatura é, no máximo, 20 °C?
- “No máximo 20” significa T(t) ≤ 20:
- Como 0 ≤ t < π, temos 0 ≤ 2t < 2π. Nessa volta, o cosseno é não positivo de π/2 a 3π/2.
- Dividimos os três membros por 2.
Resposta: π/4 ≤ t ≤ 3π/4.
