Inequações trigonométricas

Inequação trigonométrica é uma desigualdade que envolve razões trigonométricas de uma incógnita angular. Resolê-la significa determinar todos os ângulos para os quais a desigualdade é verdadeira.

Equação

Procura ângulos isolados que produzem determinado valor.

sen x = \frac{1}{2}

Inequação

Procura intervalos de ângulos que produzem valores maiores ou menores.

sen x > \frac{1}{2}

Extremos incluídos ou excluídos

Sinal	Extremo	Notação
> ou <	Não pertence à solução	Intervalo aberto: (a, b)
≥ ou ≤	Pertence à solução	Intervalo fechado: [a, b]

Exemplo inicial

Resolva sen x > 1/2 na primeira volta, 0 ≤ x < 2π.

Primeiro encontramos os pontos de igualdade:

sen x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{6} ou x = \frac{5 π}{6}

Entre esses dois ângulos, os pontos da circunferência possuem ordenada maior que 1/2. Como o sinal é estrito, os extremos não entram:

x \in (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})

Procedimento geral

isole a razão trigonométrica;
resolva a equação associada para encontrar os extremos;
identifique em quais arcos ou trechos do gráfico a desigualdade é verdadeira;
decida se os extremos entram na resposta;
respeite o domínio pedido ou acrescente a periodicidade.

Não basta olhar os quadrantes: quando o valor comparado não é zero, como sen x > 1/2, apenas uma parte dos quadrantes pode satisfazer a inequação.

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