Inequações trigonométricas com identidades

Exemplo 1 — cos² x ≥ 1/4, em 0 ≤ x < 2π

1. Como os dois lados são não negativos, podemos interpretar a desigualdade por meio do módulo:
   $${\cos }^{2}x\ge \frac{1}{4}\iff \left|\cos x\right|\ge \frac{1}{2}$$
2. Isso significa cos x ≥ 1/2 ou cos x ≤ −1/2.
3. No círculo, reunimos os arcos correspondentes.

Solução: [0, π/3] ∪ [2π/3, 4π/3] ∪ [5π/3, 2π).

Exemplo 2 — sen x · cos x > 0, em 0 ≤ x < 2π

Um produto é positivo quando os fatores têm o mesmo sinal. No 1º quadrante, seno e cosseno são positivos; no 3º, ambos são negativos. Nos eixos, o produto vale zero e não entra porque a desigualdade é estrita.

Solução: (0, π/2) ∪ (π, 3π/2).

Exemplo 3 — cos 2x ≤ 0

1. Chamamos temporariamente 2x de u. Para cos u ≤ 0:
   $$\frac{\pi }{2}+2k\pi \le u\le \frac{3\pi }{2}+2k\pi$$
2. Substituímos u por 2x e dividimos todos os termos por 2:
   $$\frac{\pi }{4}+k\pi \le x\le \frac{3\pi }{4}+k\pi$$

Solução geral: π/4 + kπ ≤ x ≤ 3π/4 + kπ, com k ∈ ℤ.

Exemplo 4 — sen² x − sen x ≤ 0

Fatoramos a expressão:

Se y = sen x, temos y(y − 1) ≤ 0, cuja solução é 0 ≤ y ≤ 1. Portanto, procuramos os pontos em que sen x ≥ 0.

Em 0 ≤ x < 2π: x ∈ [0, π].