Problemas resolvidos sobre cônicas

Antes de calcular, identifique a cônica pelo padrão da equação: soma de termos quadráticos para a elipse, diferença para a hipérbole e apenas uma variável ao quadrado para a parábola.

Problema 1 — elementos de uma elipse

Determine os focos de x²/36 + y²/20 = 1.

a² = 36 e b² = 20, logo a = 6 e b = 2√5.
c² = a² − b² = 36 − 20 = 16, portanto c = 4.
O maior denominador está sob x², então os focos ficam no eixo x.

Focos: F₁(−4, 0) e F₂(4, 0).

Problema 2 — equação de uma elipse

Uma elipse tem centro na origem, vértices principais (±5, 0) e focos (±4, 0). Determine sua equação.

a = 5 e c = 4.
b² = a² − c² = 25 − 16 = 9.
O eixo maior é horizontal.

x²/25 + y²/9 = 1.

Problema 3 — elementos de uma hipérbole

Determine focos e assíntotas de y²/16 − x²/9 = 1.

a = 4, b = 3 e c = √(16 + 9) = 5.
O termo positivo é y², então os ramos são verticais.
Para uma hipérbole vertical, as assíntotas são y = ±(a/b)x.

Focos: (0, ±5). Assíntotas: y = ±(4/3)x.

Problema 4 — equação de uma hipérbole

Uma hipérbole horizontal tem centro na origem, vértices (±3, 0) e focos (±5, 0).

a = 3 e c = 5.
b² = c² − a² = 25 − 9 = 16.

x²/9 − y²/16 = 1.

Problema 5 — foco e diretriz de uma parábola

Determine foco e diretriz de (x − 1)² = −12(y + 2).

Vértice V(1, −2).
4p = −12, logo p = −3.
Foco F(h, k + p) = F(1, −5).
Diretriz y = k − p = 1.

A parábola abre para baixo.

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