📄 Elipse: definição e elementos
📄 Equações da elipse
📄 Hipérbole: definição e elementos
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Hipérbole: definição e elementos
A hipérbole é o conjunto dos pontos P para os quais o valor absoluto da diferença das distâncias a dois focos fixos é uma constante positiva, menor que a distância entre os focos.
A₁ e A₂ são os vértices, F₁ e F₂ são os focos e C é o centro. A distância A₁A₂ é 2a. As retas tracejadas são as assíntotas: os ramos se aproximam delas sem cruzá-las.
PF1 e PF2 são as distâncias de P aos focos. As barras indicam o valor absoluto: calculamos a diferença entre a maior e a menor distância, obtendo um resultado positivo. A constante 2a é a distância entre os dois vértices da hipérbole; portanto, a é a distância do centro a cada vértice.
Exemplo
Se a distância entre os vértices é 6 cm, então 2a = 6 cm e a = 3 cm. Um ponto P cujas distâncias aos focos sejam 11 cm e 5 cm satisfaz a definição, pois |11 − 5| = 6 cm. Para qualquer outro ponto da mesma hipérbole, a diferença em valor absoluto também será 6 cm.
Elementos da hipérbole
Eixo real
O eixo real ou transverso passa pelos focos e pelos vértices. O segmento A₁A₂ tem comprimento 2a, e CA₁ = CA₂ = a.
Eixo conjugado
Passa pelo centro e é perpendicular ao eixo real. Nele, consideramos um segmento de comprimento 2b, centrado em C. Na figura, B₁B₂ = 2b e CB₁ = CB₂ = b. Os pontos B₁ e B₂ são auxiliares e não pertencem à hipérbole.
Focos e distância focal
A distância do centro a cada foco é c, chamada de distância semifocal. A distância entre os focos é 2c. Como c > a, cada foco fica além do vértice do mesmo ramo.
Assíntotas
São as retas tracejadas das quais os ramos se aproximam indefinidamente. Para visualizá-las, traçamos um retângulo auxiliar centrado em C, com lados 2a e 2b. As retas que passam pelas diagonais desse retângulo são as assíntotas.
Os comprimentos a, b e c estão relacionados por:
Excentricidade
A excentricidade e é a razão entre a distância do centro a um foco e a distância do centro a um vértice. Como c > a, na hipérbole ela é sempre maior que 1:
