Equações da elipse

Nas equações reduzidas abaixo, a é o comprimento do semieixo maior, b é o comprimento do semieixo menor e c é a distância do centro a cada foco. Adotamos a > b > 0 e c² = a² − b².

O maior denominador, a², indica a direção do eixo maior.

Centro na origem: C(0, 0)

Eixo maior horizontal

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Focos: (±c, 0).

Eixo maior vertical

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1

Focos: (0, ±c).

Centro fora da origem

Quando o centro é C(h, k), h indica sua coordenada horizontal e k, sua coordenada vertical. Substituímos x por x − h e y por y − k. A elipse muda de posição, mas os comprimentos dos semieixos permanecem os mesmos:

Horizontal

(x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1

Vertical

(x − h)²/b² + (y − k)²/a² = 1

Exemplo 1 — centro na origem

Na elipse x²/25 + y²/9 = 1, temos a² = 25 e b² = 9. Portanto, a = 5 e b = 3.

Como o maior denominador está sob x², o eixo maior é horizontal.
c² = a² − b² = 25 − 9 = 16, logo c = 4.
Os focos são F₁(−4, 0) e F₂(4, 0).
Os vértices principais são (−5, 0) e (5, 0).

Exemplo 2 — centro deslocado

Em (x − 2)²/16 + (y + 1)²/4 = 1:

Centro C(2, −1);
a = 4 e b = 2;
c = √(16 − 4) = 2√3;
focos (2 ± 2√3, −1).

O centro está 2 unidades à direita e 1 unidade abaixo da origem. O semieixo horizontal mede a = 4, e o vertical mede b = 2.

Atenção: a e b são comprimentos e, portanto, positivos. Os denominadores fornecem a² e b², não diretamente a e b.

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Como referenciar: "Geometria analítica: cônicas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 12/11/2026 às 21:23. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas2.php