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 EQUAÇÕES BIQUADRADAS

 Observe as equações:

x4 - 13x2 + 36 = 0

9x4 - 13x2 + 4 = 0

x4 - 5x2 + 6 = 0

 

Note que os primeiros membros são polinômios do 4º grau na variável x, possuindo um termo em x4, um termo em x2 e um termo constante. Os segundos membros são nulos.

Denominamos essas equações de equações biquadradas.

Ou seja, equação biquadrada com uma variável x é toda equação da forma:

 

ax4 + bx2 + c = 0

 

Exemplos:

x4 - 5x2 + 4 = 0

x4 - 8x2 = 0

3x4 - 27 = 0

 

Cuidado!

      x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0               6x4 + 2x3 - 2x = 0            x4 - 3x = 0

As equações acima não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares.

 

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA

      Na resolução de uma equação biquadrada em IR devemos substituir sua variável, transformando-a numa equação do 2º grau.

      Observe agora a sequência que deve ser utilizada na resolução de uma equação biquadrada.

 

Seqüência prática

  • Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incógnita elevada ao quadrado) e x2 por y.

  • Resolva a equação ay2 + by + c = 0

  • Determine a raiz quadrada de cada uma da raízes ( y'e y'') da equação ay2 + by + c = 0.

       Essas duas relações indicam-nos que cada raiz positiva da equação ay2 + by + c = 0 dá origem a duas raízes simétricas para a biquadrada: a raiz negativa não dá origem a nenhuma raiz real para a mesma.

Exemplos:

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

                   

                     y2 - 13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

 

                  y'=4     e      y''=9

Como x2= y, temos:

                  

Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}.

 

  • Determine as raízes da equação biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0.

Solução

Substituindo x4 por y2 e x2 por y, temos:

 

                       y2 + 4y - 60 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos:

 

                     y'=6   e  y''= -10

Como x2= y, temos:

 

                   

Logo, temos para o conjunto verdade:.

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