Sistemas de equações do 2º grau

Observe o seguinte problema:

Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m². Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:

Perímetro: 8x + 4y = 64

Área: 2x . ( 2x + 2y) = 192  4x² + 4xy = 192

Simplificando, obtemos:

2x + y = 16        (1)

x² +xy = 48       (2)

Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.

Podemos resolvê-lo pelo método da substituição:

Assim:    2x + y = 16       (1)

                   y = 16 - 2x

Substituindo y em (2), temos:

x² + x ( 16 - 2x) = 48

x ² + 16x - 2x² = 48

- x²  + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.

x² - 16x + 48 = 0

x'=4       e        x''=12

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

y'=16 - 2 . 4 = 8

y''=16 - 2 . 12 = - 8

As soluções  do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8). Desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:

Comprimento = 2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m

Largura = 2x = 2. 4 = 8m

Verifique agora a solução deste outro sistema:

Isolando y na primeira equação:

y - 3x = -1 y = 3x - 1

Substituindo na segunda:

x²  - 2x(3x - 1)  = -3

x² - 6x² + 2x    = -3   

-5x² + 2x + 3    = 0   Multiplicando ambos os membros por -1.

5x² - 2x - 3     = 0

x'=1       e    x''=-

Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:

As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e  .

Logo, temos para conjunto verdade: