Derivadas de funções logarítmicas

Agora, obteremos fórmulas das derivadas para as funções logarítmicas e exponenciais e discutiremos as relações gerais entre e derivada de uma função um a um e a sua inversa.

O logaritmo natural desempenha um papel especial no cálculo que pode ser motivado diferenciando , onde b é uma base arbitrária. Para esta proposta, admitiremos que é diferenciável, e portanto contínua para x > 0. Também necessitaremos do limite   

Usando a definição de derivada, obtemos(com x em vez de v como variável).

Assim,

Mas a partir da fórmula  , temos = 1/1n b; logo, podemos reescrever esta fórmula de derivada como

No caso especial onde b = e, temos   = 1n e = 1, logo esta fórmula torna-se

Assim, entre todas as possíveis bases, a base b  = e produz a fórmula mais simples da derivada para . Esta é uma das razões por que a função do logaritmo natural  é preferida sobre todos os logaritmos no cálculo.

Exemplo 1

Ache

Solução. A partir de  

Quando possível as propriedades dos logaritmos devem ser usadas para converter produtos, quocientes e expoentes em somas, em diferenças e em múltiplos de constantes, antes de diferenciar uma função envolvendo logaritmos.

Exemplo 2