Funções logarítmicas

A figura 1 abaixo sugere que se b > 0 e  b 1, então o gráfico de y = satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x) =  tem uma inversa.

Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x como variável independente), podemos resolver a equação x = para y com uma função de x. Isto pode ser feito tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto dá lugar a 

  = ()

Porém, se pensarmos ()  como expoente ao qual b se deve ser elevado para produzir , então fica evidente que (). Assim, pode ser reescrito como

y =

de onde concluímos que a inversa de f (x) = é (x) =  x. Isto implica que o gráfico de x = e o de y =   são reflexões um do outro, em relação relação à reta  y = x. 

Chamaremos  de função logarítmica na base b.

Em particular, se tomarmos f (x) =  e  (x) =  , e se tivermos em mente que o domínio de  é o mesmo que a imagem de f, então obtemos          

Em outras palavras, a equação nos diz que as funções log_b(b^x) e b^{log x} cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo