Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios é feita com a propriedade distributiva: cada termo de um fator deve multiplicar todos os termos do outro fator. Depois, reduzimos os termos semelhantes.

Antes de começar: na multiplicação de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes. Por exemplo, x² · x³ = x⁵.

Monômio vezes polinômio

Multiplicamos o monômio por cada termo do polinômio, observando os sinais, os coeficientes e os expoentes.

Exemplo 1: calcule 3x(2x² − 5x + 4).

3x · 2x² + 3x · (−5x) + 3x · 4

= 6x³ − 15x² + 12x

Exemplo 2: calcule −2a²(3a³ + a − 5).

−6a⁵ − 2a³ + 10a²

Observe que o sinal negativo do monômio altera o sinal de cada produto.

Polinômio vezes polinômio

1. Distribuacada termo do primeiro fator.

2. Multipliquecoeficientes e partes literais.

3. Reduzaos termos semelhantes.

Exemplo 3: calcule (x + 3)(x + 5).

x · x + x · 5 + 3 · x + 3 · 5

x² + 5x + 3x + 15

= x² + 8x + 15

Exemplo 4: calcule (2x − 1)(x² + 3x − 4).

2x(x² + 3x − 4) − 1(x² + 3x − 4)

2x³ + 6x² − 8x − x² − 3x + 4

= 2x³ + 5x² − 11x + 4

Erro frequente: multiplicar apenas os primeiros termos. Em (x + 2)(x + 4), os quatro produtos precisam ser calculados: x · x, x · 4, 2 · x e 2 · 4.

O grau do produto

Quando os polinômios não são nulos, o grau do produto é igual à soma dos graus dos fatores. Assim, o produto de um polinômio de grau 2 por outro de grau 3 tem grau 5.

Uma interpretação geométrica

Retângulo de lados x + 2 e x + 5Área = (x + 2)(x + 5) = x² + 7x + 10

A multiplicação de polinômios pode representar medidas. Se os lados de um retângulo medem x + 2 e x + 5, sua área é o produto dessas expressões.

Pratique

4x(3x² − 2x + 5)
−3a²(2a³ − a + 4)
(x + 2)(x + 6)
(x − 4)(x + 3)
(2x + 3)(x² − x + 5)
Determine a área de um retângulo cujos lados medem x + 4 e x + 1.

Respostas: 1) 12x³ − 8x² + 20x; 2) −6a⁵ + 3a³ − 12a²; 3) x² + 8x + 12; 4) x² − x − 12; 5) 2x³ + x² + 7x + 15; 6) x² + 5x + 4.

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