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Operações com vetores

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores

I) Comutativa: Para todos os vetores u e v de R2:

   v + w = w + v

 II) Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R2:

   u + (v + w) = (u + v) + w

 III) Elemento neutro: Existe um vetor O=(0,0) em R2 tal que para todo vetor u de R2, se tem:

   O + u = u

 IV) Elemento oposto: Para cada vetor v de R2, existe um vetor -v em R2 tal que:

   v + (-v) = O

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w por:

v - w = (a-c,b-d)

Produto de um escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v, como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

  • 1 v = v
  • (k c) v = k (c v) = c (k v)
  • k v = c v    implica   k = c, se v for não nulo
  • k (v+w) = k v + k w
  • (k + c)v = k v + c v

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R2, que são dados por:

i = (1,0)    j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:

Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos.

Se c = 0 então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1 então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1 então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0 então u terá sentido oposto ao de v.

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Como referenciar: "Vetores" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2018. Consultado em 21/01/2018 às 14:41. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vetores5.php