Inequações modulares

Uma inequação modular compara uma expressão em módulo com outro valor. A interpretação como distância permite compreender as regras, em vez de apenas decorá-las.

As duas regras fundamentais

Considere k > 0. Se |A| é menor que k, então A está entre −k e k. Se |A| é maior que k, então A está fora desse intervalo.

Distância menor

| A | < k \Leftrightarrow - k < A < k

As soluções ficam entre os extremos.

Distância maior

| A | > k \Leftrightarrow \{\begin{cases} A < - k \\ A > k \end{cases}

As soluções ficam fora dos extremos.

Inequação	Forma equivalente, para k > 0
\|A\| ≤ k	−k ≤ A ≤ k
\|A\| < k	−k < A < k
\|A\| ≥ k	A ≤ −k ou A ≥ k
\|A\| > k	A < −k ou A > k

Exemplo 1 — Soluções dentro de um intervalo

Resolva |x − 2| ≤ 4.

- 4 \leq x - 2 \leq 4

- 2 \leq x \leq 6

Solução: S = [−2, 6].

Exemplo 2 — Soluções fora de um intervalo

Resolva |2x + 1| > 5.

\{\begin{cases} 2 x + 1 < - 5 \Rightarrow x < - 3 \\ 2 x + 1 > 5 \Rightarrow x > 2 \end{cases}

Solução: S = ]−∞, −3[ ∪ ]2, +∞[.

Exemplo 3 — Isolar o módulo primeiro

Resolva 3|x + 2| − 1 < 8.

\begin{array}{l} 3 | x + 2 | - 1 < 8 \\ 3 | x + 2 | < 9 \\ | x + 2 | < 3 \\ - 3 < x + 2 < 3 \\ - 5 < x < 1 \end{array}

Solução: S = ]−5, 1[.

Casos especiais

Situação	Conclusão
\|A\| < 0	Impossível: S = ∅
\|A\| ≤ 0	Somente quando A = 0
\|A\| > número negativo	Verdadeira para todo valor do domínio
\|A\| ≥ 0	Verdadeira para todo valor do domínio

Cuidado: as regras com −k e k pressupõem k > 0. Antes de aplicá-las, isole o módulo e observe o sinal do outro membro.

Próximo: Problemas resolvidos de função modular

Siga o novo Instagram:

Como referenciar: "Função modular" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 02/11/2026 às 04:20. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao-modular4.php