Equações modulares

Uma equação modular é uma equação em que a incógnita aparece dentro de um módulo. Para resolvê-la, usamos o fato de que |A| representa a distância de A até zero.

Equação fundamental

Se k é positivo, existem dois números cuja distância até zero é k: o próprio k e seu oposto −k. Portanto:

| A | = k \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = k \\ A = - k \end{cases} (k > 0)

Se k = 0

Somente o zero tem módulo igual a zero.

| A | = 0 \Leftrightarrow A = 0

Se k < 0

Não existe distância negativa; a equação não tem solução real.

| A | = k \Rightarrow S = \emptyset

Exemplo 1 — Equação direta

Resolva |x − 3| = 5.

| x - 3 | = 5 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x - 3 = 5 \Rightarrow x = 8 \\ x - 3 = - 5 \Rightarrow x = - 2 \end{cases}

Solução: S = {−2, 8}.

Interpretação geométrica

A expressão |x − a| representa a distância entre x e a. Assim, |x − 3| = 5 procura os pontos que estão a 5 unidades do número 3: −2 e 8.

Exemplo 2 — Coeficiente dentro do módulo

Resolva |2x + 1| = 7.

\{\begin{cases} 2 x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3 \\ 2 x + 1 = - 7 \Rightarrow x = - 4 \end{cases}

Solução: S = {−4, 3}.

Exemplo 3 — Módulos nos dois lados

Resolva |2x − 1| = |x + 3|.

Dois números têm o mesmo módulo quando são iguais ou opostos:

\{\begin{cases} 2 x - 1 = x + 3 \Rightarrow x = 4 \\ 2 x - 1 = - (x + 3) \Rightarrow 3 x = - 2 \Rightarrow x = \frac{- 2}{3} \end{cases}

Solução: S = { $\frac{- 2}{3}$ , 4}.

Exemplo 4 — Isolar o módulo

Resolva 2|x + 1| − 3 = 5.

\begin{array}{l} 2 | x + 1 | - 3 = 5 \\ 2 | x + 1 | = 8 \\ | x + 1 | = 4 \end{array}

\{\begin{cases} x + 1 = 4 \Rightarrow x = 3 \\ x + 1 = - 4 \Rightarrow x = - 5 \end{cases}

Solução: S = {−5, 3}.

Verificação: sempre substitua as soluções na equação original, especialmente quando houver expressões mais complexas ou módulos em denominadores.

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Como referenciar: "Função modular" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 02/11/2026 às 04:20. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/funcao-modular3.php