Equações trigonométricas com identidades

Exemplo 1 — Fatoração

Resolva 2 sen x cos x = sen x, para 0 ≤ x < 2π.

1. Levamos todos os termos para o mesmo membro:

   $$2\mathrm{sen}x\cos x-\mathrm{sen}x=0$$

2. Colocamos sen x em evidência:

   $$\mathrm{sen}x(2\cos x-1)=0$$

3. Um produto é zero quando ao menos um dos fatores é zero:

   $$\mathrm{sen}x=0\text{ou}\cos x=\frac{1}{2}$$

Soluções: x = 0, π/3, π e 5π/3.

Exemplo 2 — Relação fundamental

Resolva sen² x − cos² x = 0, para 0° ≤ x < 360°.

1. Da igualdade sen² x = cos² x e da relação sen² x + cos² x = 1, concluímos que as duas parcelas valem 1/2:

   $${\mathrm{sen}x}^2=\frac{1}{2}$$

2. Logo, sen x = ±√2/2. Esse valor ocorre nos quatro quadrantes.

Soluções: x = 45°, 135°, 225° e 315°.

Exemplo 3 — Arco duplo

Resolva sen 2x = 1, para 0 ≤ x < 2π.

1. Chamamos 2x de novo ângulo. O seno vale 1 em π/2 + 2kπ:

   $$2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

2. Dividimos toda a igualdade por 2:

   $$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$

3. No intervalo pedido, k = 0 e k = 1.

Soluções: x = π/4 e 5π/4.

Exemplo 4 — Equação quadrática em cos x

Resolva 2 cos² x − 3 cos x + 1 = 0.

1. Fazemos u = cos x e resolvemos 2u² − 3u + 1 = 0:

   $$(2u-1)(u-1)=0$$

2. Assim, cos x = 1/2 ou cos x = 1.