Equação fundamental do seno

Dois ângulos têm o mesmo seno quando são côngruos ou quando são suplementares, admitindo-se voltas completas.

Portanto:

sen x = sen α \Rightarrow {\begin{matrix} x = α + 2 k π \\ x = π - α + 2 k π \end{matrix}, k \in ℤ

Em graus, substituímos 2π por 360° e π por 180°.

Exemplo 1 — sen x = 1/2

O ângulo de referência é 30°, pois sen 30° = 1/2.
O seno é positivo no primeiro e no segundo quadrantes.
Na primeira volta, as soluções são 30° e 180° − 30° = 150°.

x = 30 ° + 360 ° k ou x = 150 ° + 360 ° k

Exemplo 2 — sen x = −√2/2, com 0 ≤ x < 2π

O ângulo de referência é π/4.
O seno é negativo no terceiro e no quarto quadrantes.
Somamos π/4 a π para obter 5π/4; no quarto quadrante, fazemos 2π − π/4 = 7π/4.

x = \frac{5 π}{4} ou x = \frac{7 π}{4}

Exemplo 3 — 2 sen x − 1 = 0, em 0° ≤ x ≤ 360°

Primeiro isolamos o seno:

2 sen x - 1 = 0 \Rightarrow sen x = \frac{1}{2}

No intervalo fechado, as soluções continuam sendo x = 30° e x = 150°. Os extremos 0° e 360° não satisfazem a equação.

Teste rápido: se o valor isolado do seno for maior que 1 ou menor que −1, a equação não possui solução real.

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Como referenciar: "Equações trigonométricas" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 13/11/2026 às 21:20. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/emedio/equacoest/equacoest1.php

Equação fundamental do seno

Exemplo 1 — sen x = 1/2

Exemplo 2 — sen x = −√2/2, com 0 ≤ x < 2π

Exemplo 3 — 2 sen x − 1 = 0, em 0° ≤ x ≤ 360°

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