Problemas resolvidos sobre circunferência

Os problemas seguintes combinam os principais procedimentos deste assunto. Observe primeiro quais informações foram fornecidas e qual forma da equação torna a resolução mais direta.

Problema 1 — equação a partir do centro e do raio

Determine a equação da circunferência de centro C(−2, 3) e raio 5.

Usamos (x − a)² + (y − b)² = r².
Substituímos a = −2, b = 3 e r = 5.

(x + 2)² + (y − 3)² = 25.

Problema 2 — extremidades de um diâmetro

A(−1, 2) e B(5, 6) são as extremidades de um diâmetro. Determine o centro, o raio e a equação.

O centro é o ponto médio: C((−1 + 5)/2, (2 + 6)/2) = C(2, 4).
AB = √(6² + 4²) = √52 = 2√13. O raio é metade do diâmetro: r = √13.
Substituímos na forma reduzida.

(x − 2)² + (y − 4)² = 13.

Problema 3 — centro e raio pela equação geral

Determine os elementos de x² + y² − 8x + 6y = 0.

Completando quadrados: x² − 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 25.
Logo, (x − 4)² + (y + 3)² = 25.

Centro C(4, −3) e raio 5.

Problema 4 — posição de uma reta

Classifique a reta 3x + 4y − 25 = 0 em relação à circunferência x² + y² = 25.

Centro O(0, 0) e raio 5.
d = |3·0 + 4·0 − 25|/√(3² + 4²) = 25/5 = 5.
Como d = r, a reta é tangente.

A reta é tangente à circunferência.

Problema 5 — duas circunferências

Classifique as circunferências de centros C₁(0, 0), C₂(6, 0) e raios 4 e 3.

d = 6.
R + r = 7 e R − r = 1.
Como 1 < 6 < 7, elas são secantes.

As circunferências possuem dois pontos comuns.

Próximo: Exercícios sobre circunferência

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