📄 Coeficientes binomiais: significado e cálculo
📄 Triângulo de Pascal: construção e uso
📄 Propriedades do triângulo de Pascal
📄 Fórmula do Binômio de Newton: desenvolvimento
📄 Termo geral do Binômio de Newton
📄 Coeficiente de uma potência e termo independente
📄 Exercícios de Binômio de Newton com respostas comentadas
Coeficiente de uma potência e termo independente
O termo geral também permite responder a questões que pedem uma potência específica de x. O segredo é resolver primeiro a equação dos expoentes.
Não confunda termo e coeficiente
No termo 84x⁵, o coeficiente é 84. Se a questão pede o coeficiente de x⁵, a resposta é somente o número que multiplica essa potência.
Como encontrar uma potência específica
Escreva o termo geral, junte as potências de x e descubra qual valor de k produz o expoente pedido. Só depois calcule o coeficiente.
Exemplo 1 — coeficiente de x⁵ em (x + 2)⁷
- O termo geral é Tk+1 = (7 sobre k)x7−k2k.
- Para ter x⁵, faça 7 − k = 5. Assim, k = 2.
- O coeficiente é (7 sobre 2) · 2² = 21 · 4 = 84.
O termo é 84x⁵; seu coeficiente é 84.
Exemplo 2 — coeficiente de x³ em (2x + 1)⁵
- O termo geral contém (2x)5−k. Para obter x³, precisamos de 5 − k = 3, ou k = 2.
- O coeficiente é (5 sobre 2) · 2³ · 1² = 10 · 8 = 80.
Coeficiente: 80.
Termo independente de x
É o termo com expoente zero em x. Para encontrá-lo, impomos que o expoente de x no termo geral seja zero.
Exemplo 3 — termo independente em (x² + 2/x)⁶
- Esta expressão exige x ≠ 0. O teorema se aplica aos dois termos, embora o desenvolvimento possa conter potências negativas de x.
- Tk+1 = (6 sobre k)(x²)6−k(2/x)k.
- Junte as potências: x12−2k · x−k = x12−3k.
- Para o termo independente: 12 − 3k = 0, então k = 4.
- Coeficiente: (6 sobre 4) · 2⁴ = 15 · 16 = 240.
Termo independente: 240.
E se k não for inteiro?
Para o termo independente de (x² + 1/x)⁵, o expoente é 10 − 3k. A condição 10 − 3k = 0 dá k = 10/3, que não é inteiro. Portanto, não existe termo independente. O valor de k também precisa estar entre 0 e n.
Soma dos coeficientes de um polinômio
Para um polinômio P(x), substitua x = 1: todas as potências de x passam a valer 1, e P(1) é a soma dos coeficientes.
Exemplo 4
Se P(x) = (2x − 3)⁴, a soma dos coeficientes é P(1) = (2 − 3)⁴ = 1. Não é preciso desenvolver o polinômio.
