📄 Coeficientes binomiais: significado e cálculo
📄 Triângulo de Pascal: construção e uso
📄 Propriedades do triângulo de Pascal
📄 Fórmula do Binômio de Newton: desenvolvimento
📄 Termo geral do Binômio de Newton
📄 Coeficiente de uma potência e termo independente
📄 Exercícios de Binômio de Newton com respostas comentadas
Coeficientes binomiais: significado e cálculo
Os números que multiplicam os termos do desenvolvimento não aparecem por acaso. Eles contam as escolhas de um termo em cada fator do produto.
Uma notação para os coeficientes
O número é chamado de coeficiente binomial e lido como “n sobre k”. Ele conta quantas maneiras existem de escolher k elementos entre n, sem considerar a ordem. Também pode ser escrito como Cn,k.
Neste estudo, n e k são inteiros com 0 ≤ k ≤ n. A letra n indica o total; k indica quantos elementos escolhemos.
Antes da fórmula: o que é fatorial?
O símbolo ! indica fatorial. Para um inteiro positivo, multiplicamos esse número por todos os inteiros positivos menores que ele: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Por definição, 0! = 1.
Exemplo 1 — calcule 5 sobre 2
- Substitua n = 5 e k = 2: 5!/[2! · 3!].
- Escreva 5! = 5 · 4 · 3!. Cancele o fator 3! no numerador e no denominador.
- Resta (5 · 4)/(2 · 1) = 10.
5 sobre 2 = 10.
Por que aparecem esses números no binômio?
Em (a + b)⁵ existem cinco fatores (a + b). Para obter a³b², escolhemos b em dois dos cinco fatores e a nos outros três. Há = 10 escolhas. Portanto, o coeficiente de a³b² é 10.
| Coeficiente | Valor | Motivo |
|---|---|---|
| 1 | Só há uma maneira de não escolher nenhum elemento. | |
| 1 | Só há uma maneira de escolher todos. | |
| n | Há n escolhas para um elemento. |
Exemplo 2 — 6 sobre 4
- Pela fórmula, 6!/[4! · 2!] = (6 · 5)/(2 · 1) = 15.
- Escolher 4 entre 6 equivale a escolher os 2 que ficarão de fora. Por isso, 6 sobre 4 = 6 sobre 2.
A notação não é uma divisão comum
não significa 5 ÷ 2. É uma notação própria para um coeficiente binomial.
