📄 Coeficientes binomiais: significado e cálculo
📄 Triângulo de Pascal: construção e uso
📄 Propriedades do triângulo de Pascal
📄 Fórmula do Binômio de Newton: desenvolvimento
📄 Termo geral do Binômio de Newton
📄 Coeficiente de uma potência e termo independente
📄 Exercícios de Binômio de Newton com respostas comentadas
Triângulo de Pascal: construção e uso
O triângulo de Pascal organiza os coeficientes binomiais em linhas. Ele permite encontrar os coeficientes de um desenvolvimento sem calcular fatoriais.
Como construir o triângulo
- Comece pela linha n = 0, que contém apenas 1.
- Cada nova linha começa e termina com 1.
- Cada número interno é a soma dos dois vizinhos da linha anterior que ficam acima dele.
Na passagem da linha 4 para a linha 5, por exemplo, os números 4 e 6 produzem 10. Repetindo o processo, obtemos a linha 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1.
Como usar a linha correta
Para desenvolver (a + b)ⁿ, usamos a linha identificada por n. Como a contagem começa em zero, a linha n = 4 é a quinta linha desenhada e contém cinco números.
Exemplo — desenvolva (x + 1)⁴
- A linha n = 4 é 1, 4, 6, 4, 1.
- As potências de x são x⁴, x³, x², x e 1.
- Como o segundo termo do binômio é 1, todas as suas potências valem 1.
(x + 1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1.
Ligação com os coeficientes binomiais
Na linha n, as posições são numeradas por k = 0, 1, …, n. O número na posição k é . Assim, o terceiro número da linha 5 corresponde a k = 2 e vale = 10.
O triângulo não inclui as potências do segundo termo
Para (x + 2)⁴, a linha continua sendo 1, 4, 6, 4, 1, mas cada termo ainda precisa ser multiplicado pela potência correspondente de 2. O resultado não é igual ao de (x + 1)⁴.
