Propriedades das proporções

1ª propriedade

Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração:
Considere as proporções:

e

Adicionando 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:

Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos:

Exemplo:

  • Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84.
    Solução:

Assim:

x+y = 84   =>   x = 84-y   =>    x = 84-48   =>   x=36.

Logo, x=36 e y=48.

2ª propriedade

Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração:
Considere as proporções:

e

Subtraindo 1 a cada membro da primeira proporção, obtemos:

Fazendo o mesmo na segunda proporção, temos

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

  • Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção .
    Solução:

Pela 2ª propriedade, temos que:

x-y = 18   =>   x=18+y   =>   x = 18+12    =>   x=30.
Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração:
Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração:
Considere a proporção:

Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

       Exemplo:

  • Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção propor55.gif (190 bytes).
    Solução:

    Pela 4ª propriedade, temos que:

5ª propriedade:

Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.

Demonstração:
Considere a proporção:

Multiplicando os dois membros por propor51.gif (137 bytes), temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

Como referenciar: "Proporções" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2018. Consultado em 18/06/2018 às 18:26. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/fundam/propor6.php