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Funções
Logarítmica e Exponencial
A figura 1 que se encontram
no item família de funções
exponenciais sugere que se b > 0 e b  1,
então o gráfico de y = 
satisfaz o teste da reta horizontal, e isso implica que a função f (x)
=
tem uma inversa. Para encontrar uma fórmula para esta inversa (com x
como variável independente), podemos resolver a equação x
= 
para y com uma função de x. Isto pode ser feito
tomando o logaritmo na base de b de ambos os lados desta equação. Isto
dá lugar a
 =
 ()
Porém, se pensarmos () como expoente ao qual b se deve
ser elevado para produzir , então fica evidente que
().
Assim, pode ser reescrito como
y =
de onde concluímos que a inversa de f (x) =
é  (x) =
x. Isto implica que o
gráfico de x =
e o de y = são
reflexões um do outro, em relação relação à reta y = x.
Chamaremos de
função logarítmica na base b.
Em particular, se tomarmos f (x) =
e (x) = ,
e
se tivermos em mente que o domínio de é o mesmo que a imagem de f,
então obtemos
logb(bx)=x
para todos os valores reais de x
blog x=x para x>0 |
Em outras palavras, a equação nos diz que as funções logb(bx) e blog x
cancelam o efeito de outra quando compostas em qualquer ordem; por exemplo
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
- FUNÇÕES DEFINIDAS EXPLICITAMENTE E
IMPLICITAMENTE
Até agora, estávamos preocupados em diferenciar funções que são
expressas na forma y = f (x). Dizemos que uma equação
desta forma define y explicitamente como uma função de x,
pois a variável y aparece sozinha de um lado da equação. Entretanto,
algumas vezes as funções estão definidas com equações nas quais y
não está sozinho de um lado; por exemplo, a equação
yx + y +1 = x
não está na forma y = f (x). Contudo, esta equação ainda
define y como uma função de x, uma vez se pode reescrever como
y =
Assim dizemos que xy + y +1 = x define y implicitamente
como uma função de x, sendo
f (x) =
Uma equação em x e y pode implicitamente definir
mais do que uma função de x; por exemplo, se resolvermos a equação
para y em termos de x, obtemos  ; assim, encontramos duas
funções que estão definidas implicitamente
por , isto é
e 
Os gráficos destas funções são semicírculos superiores e inferiores do
círculo .
Em geral, se tivermos uma equação em x e y, então qualquer
segmento de seu gráfico que passe pelo teste vertical pode ser visto como
gráfico de una função definida pela equação. Assim fazemos a seguinte
definição:
| Definição. Dizemos que uma dada equação em x
e y define a função f implicitamente se o gráfico
de y = f (x) coincidir com algum segmento do gráfico da
equação. |
Assim, por exemplo, a
equação
define as
funções  e
implicitamente, uma vez que os gráficos dessas funções são os segmentos do
círculo .
Às vezes, pode ser difícil ou impossível resolver uma equação em x
e y para y em termos de x.
Com persistência, a equação
por exemplo, pode ser resolvida para y em termos de x, mas a
álgebra é enfadonha e as fórmulas resultantes são complicadas. Por outro
lado, a equação
sen(xy) = y
não pode ser resolvida para y em termos de x por qualquer
método elementar. Assim, mesmo que uma equação em x e y possa
definir uma ou mais funções de x, pode não ser prático ou possível
achar fórmulas explícitas para aquelas
funções.
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