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Funções
Logarítmica e Exponencial
Quando os logaritmos foram introduzidos no
século XVII como uma ferramenta computacional, eles forneceram aos cientistas
daquela época um poder de cálculo até então inimaginável. Embora os
computadores e as calculadoras tenham substituído amplamente os logaritmos em
cálculos numéricos, as funções logarítmica e suas relativas tem uma vasta
aplicação na matemática e na ciência.
Em álgebra, as potências inteiras e racionais de um número b estão
definidas por
Se b for negativo, então algumas das potências fracionárias de b terão
valores imaginários; por exemplo,  . Para evitar
esta complicação, vamos supor que  , mesmo que não seja estabelecido
explicitamente.
Observe que as definições precedentes não incluem potências irracionais
de b, tais como
Há vários métodos para definir potências irracionais. Uma abordagem é
definir potências irracionais de b como limite de potências racionais. Por
exemplo, para definir 
devemos começar com a representação decimal
de  ,
isto é,
3,1415926
Desta decimal, podemos formar uma seqüência de números racionais que ficam
cada vez mais próximos de
isto é,
3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;
3,14159
e a partir destes podemos formar uma seqüência de potências racionais
de 2:
Uma vez que os expoentes dos termos desta seqüência tendem a um
limite , parece plausível que os próprios termos tendam a um
limite; sendo assim, é razoável definir como sendo este limite.
A tabela abaixo fornece evidência numérica de que a seqüência, na realidade,
tem um limite e para quatro casas decimais, o valor deste limite é 
8,8250. Em geral, para qualquer expoente irracional p e número positivo b,
podemos definir  como o limite de potências racionais
de b, criadas
pela expansão decimal de p.
Tabela
| x |
|
| 3 |
8,000000 |
| 3,1 |
8,574188 |
| 3,14 |
8,815241 |
| 3,141 |
8,821353 |
| 3,1415 |
8,824411 |
| 3,14159 |
8,824962 |
| 3,141592 |
8,824974 |
- A FAMÍLIA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Uma função da forma f (x) =  ,
onde b > 0 e b  1,
é chamada de função exponencial de base b, cujos exemplos
são
f (x) = ,
f (x) =  ,
f (x) = 
Note que uma função exponencial tem uma base constante e um expoente
variável. Assim as funções tais como f (x) = 
e f (x) = 
não seriam classificadas como funções exponenciais, uma vez que elas tem uma
base variável e um expoente constante.
Pode ser mostrado que as funções exponenciais são contínuas e têm um dos
dois aspectos básicos mostrados na figura 1, dependendo de se 0 < b
< 1 ou b > 1. A figura 2 mostra os gráficos de algumas
funções exponenciais específicas.
OBSERVAÇÃO. Se b
= 1, então a função
é constante, uma vez que =
= 1. Este caso não é de nosso interesse aqui, assim o excluímos da família
das funções exponenciais.
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