📄 Domínio e imagem das funções inversas
📄 Gráficos das funções inversas
📄 Funções logarítmica e exponencial
📄 Logaritmos
📄 Funções logarítmicas
📄 Funções definidas explicitamente e implicitamente
📄 Diferenciação implícita
📄 Derivadas de potências racionais de x
📄 Derivadas de funções logarítmicas
📄 Diferenciação logarítmica
📄 Derivadas de funções exponenciais
📄 Derivadas das funções trigonométricas inversas
Derivadas de potências racionais de x
A partir da equação que segue, mostramos que a fórmula
é válida para todos os valores inteiros de n e para n = . Usaremos agora a diferenciação implícita para mostrar que esta fórmula é válida para qualquer expoente racional. Mais precisamente, mostraremos que se r for um número racional, então
sempre que e estiverem definidas. Por ora, admitiremos, sem prova que é diferenciável.
Seja y = . Uma vez que r é um número racional, pode ser expresso como uma razão de inteiros r = m/n. Assim, y = = pode ser escrito como
Diferenciando implicitamente em relação a x e usando , obtemos
Desta forma, pode ser escrito como
Exemplo
A partir de
Se u for uma função diferenciável de x e r for um número racional, então a regra da cadeia dá lugar à seguinte generalização de