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Funções
Logarítmica e Exponencial
FUNÇÕES INVERSAS
Em linguagem comum, o termo
"
inversão" transmite a idéia de uma reversão. Por exemplo, em meteorologia, a
inversão da temperatura é uma reversão nas propriedades usuais da temperatura
de camadas de ar; em música, uma inversão é um tema recorrente que usa as
mesmas notas na ordem reversa. Em matemática, o termo inversa é usado
para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma
desfaz o efeito da outra.
A idéia de resolver uma
equação y = f (x)
para x com uma função de y, digamos x = g(y),
é uma das idéias mais importantes da matemática. Às vezes, resolver esta
equação é um processo simples; por exemplo usando álgebra básica, a
equação
y = f (x)
pode ser resolvida para x como uma função de y:
x = g (y)
A primeira equação é melhor para calcular y se
x for conhecido, e a segunda é melhor para calcular x se y
for conhecido
O interesse fundamental é identificar relações que possam existir entre as
funções f e g, quando uma função y=f(x)
for expressa como x = g(y), ou ao contrário. Por exemplo,
consideremos as funções 
e  discutidas
acima. Quando funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito
da outra significando que
A primeira dessas equações estabelece que cada saída de uma composição g(f(x))
é igual à entrada, e a segunda estabelece que cada saída da composição f(g(y))
é igual à entrada. Os pares de funções com essas duas propriedades são tão
importantes que há uma terminologia específica para
elas.
| Se as funções f e g satisfazem as duas
condições
g(f(x)) = x para todo x no
domínio de f
f(g(y)) = y para todo y no
domínio de g
então, dizemos que f e g são funções inversas.
Além disso, chamamos f uma inversa de g e g
uma inversa de f. |
Exemplo
Confirme cada um dos seguintes itens.
(a) A inversa de 
(b) A inversa de 
Solução (a).
Solução (b).
OBSERVAÇÃO.
O resultado no exemplo deve fazer sentido
intuitivamente para você, uma vez que as operações de multiplicar por 2 e
multiplicar por 
em qualquer ordem cancelam uma o efeito da outra, da mesma que as operações de
elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica.
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