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📄 Equações diferenciais lineares de ordem N

Equações diferenciais lineares de ordem N

Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma:

fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)

onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.

Classificações

Equação linear homogênea (k(x) = 0),  ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).

Equação linear:

de coeficientes constantes (f0, f1, f2, ..., fn constantes)
de coeficientes variáveis (pelo menos um fvariável)

 

Equações diferenciais exatas

Se P e Q têm derivadas parciais contínuas, então:

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0

é uma equação diferencial exata se e somente se

Ex: (3x² - 2y³ + 3)dx + (x³ - 6xy² + 2y)dy = 0

P(x,y) = 3x²y - 2y³ + 3  e  Q(x,y) = x³ - 6xy² + 2y

   e  n.gif (640 bytes)

logo Px = Qx e a equação diferencial é exata.

Teorema

A equação diferencial linear de primeira ordem y' + P(x)y = Q(x) pode ser transformada em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os membros pelo fator integrante f.gif (480 bytes).

Ex: g.gif (549 bytes)

Solução: A equação tem a forma do teorema onde, P(x) = -3x² e Q(x) = x²

Pelo teorema:

Multiplicando todos os termos pelo fator integrante: i.gif (345 bytes)

i.gif (345 bytes) - 3x²y = x²i.gif (345 bytes)   ou     i.gif (345 bytes) = dx = um terço.gif (335 bytes) + C

A multiplicação por dá a solução:

k.gif (520 bytes)

Como referenciar: "Equações diferenciais" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2018. Consultado em 25/04/2018 às 22:49. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq3.php