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📄 O que é uma grandeza?
📄 Grandezas diretamente proporcionais
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Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando multiplicar uma delas por um fator divide a outra pelo mesmo fator.
Para percorrer uma distância fixa de 1.000 m em velocidade constante, temos:
| Velocidade (m/s) | Tempo (s) | Velocidade × tempo |
|---|---|---|
| 5 | 200 | 1.000 m |
| 8 | 125 | 1.000 m |
| 10 | 100 | 1.000 m |
| 20 | 50 | 1.000 m |
Ao dobrar a velocidade de 5 para 10 m/s, o tempo cai de 200 para 100 s, isto é, fica reduzido à metade. O produto entre os valores correspondentes permanece constante.
Se x e y são inversamente proporcionais, existe uma constante k tal que xy = k, ou y = k/x.
k = velocidade × tempo = 5 × 200 = 1.000 m
Exemplo: se 4 trabalhadores igualmente produtivos concluem uma tarefa em 12 dias, 8 trabalhadores concluem em 6 dias, desde que mantenham o mesmo ritmo e possam dividir o trabalho. O número de trabalhadores dobrou; o tempo caiu pela metade.
Nem toda diminuição indica proporcionalidade inversa
Uma grandeza aumentar enquanto outra diminui não é suficiente. Para existir proporcionalidade inversa, o produto dos valores correspondentes deve permanecer constante e as demais condições do problema precisam ser mantidas.
Mais exemplos resolvidos
Divisão de uma tarefa: 6 máquinas iguais concluem um lote em 10 horas. Se forem usadas 15 máquinas, o tempo necessário será menor. Como as grandezas são inversamente proporcionais, o produto permanece constante:
6 × 10 = 15 × t
t = 60 ÷ 15 = 4 horas
Portanto, 15 máquinas concluem o mesmo lote em 4 horas.t = 60 ÷ 15 = 4 horas
Divisão de um prêmio: se R$ 600 forem divididos igualmente entre 5 pessoas, cada uma recebe R$ 120. Entre 10 pessoas, cada uma recebe R$ 60. Dobrar o número de pessoas reduz cada parte à metade.
Comprimento e largura: considere retângulos cuja área deve permanecer igual a 48 cm². Um deles pode medir 6 cm de comprimento e 8 cm de largura, pois 6 × 8 = 48. Se o comprimento dobrar, passando de 6 para 12 cm, a largura deverá cair pela metade, passando de 8 para 4 cm:
6 × 8 = 12 × 4 = 48
Assim, quando o comprimento aumenta, a largura diminui na mesma proporção. Por isso, comprimento e largura são inversamente proporcionais quando a área é mantida fixa.Como conferir pelo produto
Os pares (2, 24), (3, 16), (4, 12) e (6, 8) são inversamente proporcionais porque o produto de cada par é 48.
Exercícios
- Se x e y são inversamente proporcionais e x = 5 quando y = 12, determine y quando x = 15.
- Oito bombas iguais esvaziam um reservatório em 6 horas. Quanto tempo levariam 12 bombas?
- Verifique se os pares (3, 20), (4, 15) e (5, 12) são inversamente proporcionais.
Respostas: 1) 4; 2) 4 horas; 3) sim, pois o produto é sempre 60.
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Como referenciar: "Grandezas proporcionais" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2026. Consultado em 23/10/2026 às 06:02. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/fundam/graninv.php
