Fração geratriz de uma dízima periódica
A fração geratriz é uma fração que representa exatamente uma dízima periódica.
O método algébrico mostra por que aparecem noves e zeros na regra prática. Confira a seguir alguns exemplos.
Dízima periódica simples
Encontre a geratriz de 0,27.
x = 0,272727…
100x = 27,272727…
100x − x = 27
99x = 27
x = 2799 = 311
Multiplicamos por 100 porque o período possui dois algarismos. Ao subtrair, as partes periódicas se cancelam.
Dízima periódica composta
Encontre a geratriz de 0,16.
x = 0,1666…
10x = 1,666…
100x = 16,666…
100x − 10x = 16,666… − 1,666…
90x = 15
x = 1590 = 16
Encontre a geratriz de 1,234.
x = 1,23444…
100x = 123,444…
1.000x = 1.234,444…
900x = 1.111
x = 1.111900
Regra prática para dízima composta
No numerador, escreva o número formado pela parte inteira, pelo anteperíodo e por um período; depois subtraia o número formado pela parte inteira e pelo anteperíodo. No denominador, coloque um 9 para cada algarismo do período e um 0 para cada algarismo do anteperíodo.
1,234 → 1.234 − 123900 = 1.111900
Mais exemplos resolvidos
Para 0,125, o período tem três algarismos:
0,125 = 125999
A fração já está na forma irredutível.
Encontre a geratriz de 0,257.
257 − 25900 = 232900 = 58225
Há um 9 pelo algarismo do período e dois zeros pelos dois algarismos do anteperíodo.
Encontre a geratriz de 2,134.
2.134 − 21990 = 2.113990
O denominador possui dois noves pelo período 34 e um zero pelo anteperíodo 1.
Por que usamos 9 e 0?
Cada algarismo do período exige uma multiplicação por 10 para alinhar uma repetição completa. Ao subtrair potências de 10, surgem números como 9, 99 e 999. Os zeros aparecem porque primeiro precisamos deslocar o anteperíodo, que não se repete.
Exercícios complementares
Determine a fração geratriz e simplifique quando possível:
- 0,6
- 0,45
- 0,27
- 1,3
- 2,145
- 0,0312
1) 2/3
2) 5/11
3) 5/18
4) 4/3
5) 1.931/900
6) 103/3.300
