📄 Números primos
📄 Decomposição em fatores primos
📄 Como encontrar os divisores de um número
📄 Máximo divisor comum (MDC)
📄 Mínimo múltiplo comum (MMC)
Como encontrar os divisores de um número
Um número natural é divisor de outro quando a divisão entre eles é exata. Por exemplo, 6 é divisor de 24 porque 24 ÷ 6 = 4, sem resto.
Divisores de 90 pelos pares de fatores
Procuramos multiplicações de números naturais cujo resultado seja 90. Cada multiplicação fornece um par de divisores.
| Par de fatores | Divisores encontrados |
|---|---|
| 1 × 90 | 1 e 90 |
| 2 × 45 | 2 e 45 |
| 3 × 30 | 3 e 30 |
| 5 × 18 | 5 e 18 |
| 6 × 15 | 6 e 15 |
| 9 × 10 | 9 e 10 |
D(90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
Divisores usando a fatoração
Primeiro decompomos o número em fatores primos. Para isso, dividimos sucessivamente pelo menor número primo possível, até chegar a 1:
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Os fatores primos encontrados são 2, 3, 3 e 5. Como o fator 3 aparece duas vezes, podemos escrevê-lo como 3². Portanto:
90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5
Todo divisor positivo de 90 é formado escolhendo:
- 2 com expoente 0 ou 1;
- 3 com expoente 0, 1 ou 2;
- 5 com expoente 0 ou 1.
Por exemplo, 18 = 2¹ × 3² × 5⁰ e 45 = 2⁰ × 3² × 5¹. Por isso, ambos são divisores de 90. Já 12 = 2² × 3 não é divisor de 90, pois sua fatoração exige 2², mas 90 possui apenas um fator 2.
Quantidade de divisores
Se a fatoração de um número é pa × qb × rc, sua quantidade de divisores positivos é:
(a + 1) × (b + 1) × (c + 1)
(1 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 2 × 3 × 2 = 12 divisores.
A lista encontrada anteriormente possui exatamente 12 números.
Observação: 1 e o próprio número são divisores de todo número natural positivo.
