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Resposta do desafio 35

O preço do presente

Solução enviada pelo visitante Renato Santos:

Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos, desprezando os centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou 0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro, estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba, que deve ser igual ao valor de nove presentes.

Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a notação decimal posicional, isto é, abcd significa a milhares, b centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma, dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim:

1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d)
ou
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d

Resolvendo:
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0
ou
991d + 10c -890b -8999a = 0

Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir substituindo por tentativas valores para a, b, c e d.

Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das fracções contínuas:

Isolamos à  esquerda o termo com o menor coeficiente:

10c  = 8999a + 890b - 991d

Dividimos toda a equação pelo coeficiente:

c  = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d

Separando as partes inteiras das frações,

c  = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d
ou
c  = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)

Como  a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10.

Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente, têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o múltiplo trivial de 10, isto é, 0.

Fica assim, 9a - d = 0
ou
d = 9a

Retornando este resultado à  equação anterior, fica
c  = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a)
ou
c  = 899a + 89b - 891a
c  = 8a + 89b

Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos, resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta assim,
c  = 8a

Lembremos ainda que a é 1 ou 0.

Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00.

Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à  equação anterior, d=9a => d=9.

Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como R$1089,00 que, invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado.

RESPOSTA: o presente custou R$1089,00

Solução enviada pelo visitante Paulo Martins Magalhães:

Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor que o preço estava em torno de R$ 1.000,00.

Portanto, estavamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o primeiro deles. O último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro.

 Assim, sabemos que o número é 1ab9. 

Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já que seu inverso também o é (pois é um número que vale nove vezes o preço do presente). Temos então o número 1ab9. Para que tal número seja múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e b que satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5; 4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 7 e 1 e finalmente, 8 e 0. 

Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor que R$ 1.200,00, chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente. (1089 X 9 = 9801).

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Como referenciar: "O preço do presente" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2020. Consultado em 26/01/2020 às 14:51. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/desafios/soldes35.php

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