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Os Inteiros de Gauss e as Origens da Teoria dos Números Algébricos II

 

     A Matemática é a rainha das Ciências, e a Teoria dos Números é a rainha da Matemática.
C. F. Gauss

 

A teoria dos números algébricos foi criada na segunda metade do século XIX nos trabalhos dos matemáticos Ernest Kummer (1810–1893), Richard Dedekind (1831–1916) e Leopold Kronecker (1823–1891). Essa teoria teve suas origens quando o matemático alemão Carl F. Gauss (1777–1855) estendeu a idéia de número inteiro definindo o anel dos inteiros algébricos gaussianos, Z[i], e posteriormente na tentativa de se demonstrar o Último Teorema de Fermat. A teoria dos números algébricos é uma das mais belas e profundas teorias em toda a Matemática.

A primeira motivação dessa investigação diz respeito à generalização do teorema da representação única dos números inteiros como um produto de números primos, a menos da ordem dos fatores, para inteiros algébricos. Gauss introduziu o anel dos inteiros algébricos, Z[i], durante sua investigação sobre resíduos biquadráticos, e mostrou que nesse anel a fatorização em elementos primos existe, e é única a menos da ordem dos fatores.

A fatorização de um número depende muito do anel ao qual ele pertence e, portanto, para obtermos a generalização da unicidade da fatoração de inteiros, é necessário trabalhar em subanéis apropriados do corpo dos números complexos.

A segunda motivação, para o estudo da aritmética de números algébricos, origina-se da Teoria das Equações Diofantinas. Por exemplo, uma forma quadrática definida sobre um anel A é um polinômio homogêneo tal que os coeficientes são elementos de A, isto é, polinômios da forma f(x, y) = Ax2 + Bxy + Cy2 onde A, B, C pertencem ao anel A. Se tomarmos a forma quadrática sobre o anel dos números inteiros

 

f(x, y) = x2D y2

 

onde D é um número inteiro e ÖD não é um número inteiro, essa pode ser escrita na forma

 

f(x, y) = x2D y2 = (xÖD y) . (x + ÖD y).

 

Portanto, a questão sobre a possibilidade da representação de inteiros r por r =  a2Db2 =  f(a, b) onde a e b são números inteiros, é reformulada como uma questão de fatorização de números algébricos do anel Z[ÖD], isto é, números da forma a + bÖD.

Essas motivações deixam evidente a importância dos anéis Z [ÖD] e Z [i].

No inicio do ano de 1840, Kummer considerou o anel de números da forma

 

ap-1Vp-1  + ap-2 Vp-2 + ... + a1V  + a0

 

onde ap-1,  ap-2, ..., a1 e a0 são números inteiros, p é um número primo ímpar e V uma raiz primitiva p-ésima da unidade, isto é, um número complexo V tal que Vp = 1 e V ¹ 1. Como esse anel, em geral, não possui a propriedade da fatorização única em números primos, Kummer consertou essa situação introduzindo a noção de “números ideais”, que deu origem à noção de “ideal”, devida a Dedekind, e mostrou que valia a fatorização única em números primos ideais. Com esse conceito, ele demonstrou o Último Teorema de Fermat, em muitos casos novos à época, usando a identidade 

 

xp - yp = (x - y) (x - Vy) ... (x - Vp - 1y ) .

 

Essa teoria tomou uma forma distinta da que Kummer nos legou. Contudo, os profundos resultados de Kummer sobre corpos ciclotômicos, ou seja, corpos da forma Q(w) onde w é uma raiz primitiva n-ésima da unidade, serviram como paradigma para os pesquisadores posteriores. 

Demorou aproximadamente 30 anos até que Kronecker  e Dedekind encontrassem a correta generalização dos números ideais. Observou-se que era necessário definir-se a noção de número inteiro algébrico.

Um inteiro algébrico é um tipo particular de número complexo, ou seja, um número complexo que é solução de uma equação polinomial

 

anxn  +  an-1 xn-1  + ... + a1x  + a0 = 0,

 

onde todos os coeficientes an,  an-1, ..., a1, a0 são números inteiros. Por exemplo, a unidade imaginária, i, é um inteiro algébrico, pois satisfaz a equação x2 + 1 = 0. A raiz quadrada de 7, Ö7, é um inteiro algébrico, pois satisfaz a equação x2 – 7 = 0. Observe que os números i, Ö7 são exemplos de inteiros algébricos e não são números inteiros.  

      Os anéis de inteiros algébricos representam o conceito central da Teoria dos Números Algébricos. Para sermos exatos: um corpo de números algébricos, K, e seu correspondente anel de inteiros algébricos, DK. Um corpo de números algébricos, K, é um subcorpo do corpo dos números complexos que, quando visto como um espaço vetorial sobre os racionais, Q, possui dimensão finita. Os inteiros algébricos contidos em K formam um anel DK, que é a estrutura adequada para a generalização da fatorização única em números primos.

      Em linhas gerais: se w é um número algébrico arbitrário e tomamos o corpo K = Q (w) então se considera o subanel distinguido DK de K denominado de anel dos inteiros algébricos de K. Os elementos de DK são números complexos contidos em K = Q (w) que são soluções de equações polinomiais

 

anxn  +  an-1 xn-1  + ... + a1x  + a0 = 0,

 

onde todos os coeficientes an,  an-1, ..., a1, a0 são números inteiros. 

Observe que a relação entre DK e K é análoga à relação entre Z e Q. Contudo, a fatorização em primos costuma falhar para elementos do anel de inteiros, mas não falha para ideais.

Chamamos a atenção do leitor para o fato de que ao tomarmos o corpo K = Q (w), onde w é um número algébrico arbitrário, então nem sempre o anel de inteiros algébricos é da forma DK = Z [w]. Por outro lado, é verdade que Z [w] está contido em DK, pois DK é um anel contendo w. Por exemplo, Q (Ö5) é um corpo de números algébricos. De fato, o número complexo Ö5 é raiz do polinômio p(x) = x2 – 5, portanto um número algébrico, e Q (Ö5) é um espaço vetorial de dimensão finita igual a 2  sobre Q, uma base sendo o conjunto {1, Ö5}. Contudo, Z [Ö5] não é o seu anel de inteiros. De fato, o número complexo (1 + Ö5) / 2 é raiz do polinômio p(x) = x2 – x – 1, portanto um inteiro algébrico, pertencente a Q (Ö5). Logo, o número complexo (1 + Ö5) / 2 pertence ao anel de inteiros algébricos DK, mas não pertence a Z (Ö5), pois o número 1/2 não é um número inteiro.

O matemático Dedekind reformulou o conceito de número ideal proposto por Kummer, propondo o conceito chave fundamental de “ideal” que  permanece até hoje. A definição de Dedekind é distinta da definição de Kummer, mas demonstra-se que elas são equivalentes. Nessa teoria, os blocos essenciais de construção são os ideais primos. Demonstra-se que nos anéis de inteiros algébricos todo ideal não nulo possui fatorização única em potências de ideais primos.

A teoria dos ideais de anéis de inteiros algébricos foi criada para fornecer novos métodos de resolução de problemas clássicos da Teoria dos Números. O desenvolvimento de métodos em Teoria dos Números Algébricos continua sendo uma área importante de investigação em Teoria dos Números. 

A abstração das propriedades mais essenciais dos anéis de inteiros algébricos deu origem a axiomas que definiram uma nova classe de anéis chamada de Domínios de Dedekind, como foi demonstrado pela genial matemática alemã Emmy Noether (1882-1935). A classe dos domínios de Dedekind é muito mais extensa que a classe original dos anéis de inteiros  algébricos. O invariante básico de um anel de Dedekind é o seu grupo de classes de ideais, class group em inglês, e sua cardinalidade é denominada de número de classes de ideais, class number em inglês. Em geral, esse é um grupo abeliano infinito. Contudo, é sempre um grupo finito para anéis de inteiros algébricos.

Se considerarmos um corpo de números algébricos K e seu anel de inteiros algébricos DK, demonstra-se que o anel de inteiros algébricos, DK, é um domínio de Dedekind. Sendo DK um anel de inteiros algébricos o class group é finito e demonstra-se que o class number é igual a 1 se, e somente se, o anel de inteiros, DK, possui a propriedade da fatorização única.

A pesquisa das propriedades aritméticas do anel de inteiros de um corpo de números algébricos é um dos principais objetos de investigação em Teoria dos Números Algébrico. Há três métodos para se investigar a aritmética em DK. Kronecker considerou polinômios com coeficientes em DK. Dedekind introduziu a noção de ideais em DK, definindo um dos mais importantes conceitos em álgebra. Hensel introduziu o método que atualmente é denominado de localização.

Uma grande parte da Teoria dos Números clássica pode ser expressa no contexto da Teoria dos Números Algébricos e essa teoria passou de ferramenta a objeto de investigação essencial na Teoria dos Números. Esse ponto de vista foi bastante enfatizado pelo matemático alemão David Hilbert (1862–1943) que teve uma enorme influência no desenvolvimento da Teoria dos Números. Como resultado, a Teoria dos Números Algébricos é um ramo fértil, próspero e importante da Matemática, com métodos profundos e com aplicações não somente na própria Teoria dos Números, mas também na Teoria dos Grupos, na Geometria Algébrica, na Álgebra Comutativa, na Topologia, na Análise e na K–Teoria.

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