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Resposta do desafio 8

No tabuleiro do jogo da velha

Solução enviada pelo usuário Valerio Deo.

Atualmente há muitas referências para a solução dos chamados quadrados mágicos (este é o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um raciocínio intuitivo para buscar a solução deste desafio:

Nossa primeira preocupação será encontrar grupos de 3 algarismos distintos cuja soma seja 15. O processo deverá ser o mais natural possível, consistindo em organizar famílias do menor para o maior algarismo.

  • Começando com a família do 1, poderíamos pensar em 2 para o próximo elemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Então, o segundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior possível, ou 9, de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a família de grupos de algarismos começando com 1:

    1 5 9
    1 6 8
    A família do 1 só possui 2 grupos e não foi possível utilizar os algarismos 2, 3, 4, 7.

  • A próxima família será dos grupos começando com 2. e os outros dois membros deverão somar 13:

    2 4 9
    2 5 8
    2 6 7
    Algarismos não utilizados: 1, 3.

  • Família do 3:

    3 4 8
    3 5 7
    Algarismos não utilizados: 1, 2, 6, 9.

  • Família do 4:

    4 2 9
    4 3 8
    4 5 6
    Algarismos não utilizados: 1, 7.

  • Família do 5:

    5 1 9
    5 2 8
    5 3 7
    5 4 6
    Os 9 algarismos foram utilizados!

  • Família do 6:

    6 1 8
    6 2 7
    6 4 5
    Algarismos não utilizados: 3, 9.

  • Família do 7:

    7 2 6
    7 3 5
    Algarismos não utilizados: 1, 4. 8, 9.

  • Família do 8:

    8 1 6
    8 2 5
    8 3 4
    Algarismos não utilizados: 7, 9.

  • Família do 9:

    9 1 5
    9 2 4
    Algarismos não utilizados: 3, 6. 7, 8

A configuração do chamado "Jogo da Velha" é conhecida como Matriz 3 × 3, isto é, um conjunto entrelaçado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 células. No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 células de tal forma que, em qualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimos seja sempre 15, formando o chamado Quadrado Mágico 3 × 3

     
     
     

 

Considerações sobre o Quadrado Mágico 3 × 3 cuja soma é igual a 15:

  • A célula central pertence simultaneamente à linha central, à coluna central e às duas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles é comum a todos.

  • A familia do 5 é a única que reúne 4 grupos de algarismos, o que nos leva a concluir que o algarismo 5 deve ocupar a posição central da matriz:

         
      5  
         

  • Por observação, verificamos que há 4 famílias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4 famílias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, há sempre um grupo contendo o algarismo 5.

  • Observamos ainda que, das células vértices do quadrado, são gerados sempre 3 grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessa forma, as famílias de 3 grupos, isto é, 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posições:

    2   4
      5  
    6   8

  • Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto é, 1, 3, 7 e 9 nas células ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a soma com os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:

    2 9 4
    7 5 3
    6 1 8

O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfatória ao desafio proposto. Porém devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.

O fato de escolhermos o primeiro vértice para a posição do algarismo 2 foi de pura conveniência porque poderíamos escolher qualquer dos demais vértices para iniciar o raciocínio.
Geometricamente, a escolha dos demais vértices significa promover uma "rotação" na matriz onde o eixo de rotação seria perpendicular ao papel. Vamos então escolher o sentido anti-horário para rotações sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais 3 soluções possíveis:

4 3 8
9 5 1
2 7 6
8 1 6
3 5 7
4 9 2
6 7 2
1 5 9
8 3 4

Tomemos a primeira solução e imaginemos um outro tipo de rotação na qual o eixo agora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centro da matriz. Vamos promover uma rotação de 180 graus (os números permanecem como são):

4 9 2
3 5 7
8 1 6


Se nesta nova solução promovermos mais 3 rotações de 90 graus com o eixo perpendicular ao plano do papel, encontraremos mais 3 soluções possíveis:

2 7 6
9 5 1
4 3 8
6 1 8
7 5 3
2 9 4
8 3 4
1 5 9
6 7 2

Resposta:

Ao reunirmos todas as soluções acima teremos um conjunto de 8 quadrados mágicos como solução ao desafio proposto:

2 9 4
7 5 3
6 1 8
4 3 8
9 5 1
2 7 6
8 1 6
3 5 7
4 9 2
6 7 2
1 5 9
8 3 4
4 9 2
3 5 7
8 1 6
2 7 6
9 5 1
4 3 8
6 1 8
7 5 3
2 9 4
8 3 4
1 5 9
6 7 2

 

Nota Final:

Poderíamos ainda pensar em promover uma rotação com eixo horizontal, mas em 2D, como veríamos, as soluções seriam redundantes, isto é, coincidiriam com as soluções já encontradas.

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Como referenciar: "No tabuleiro do jogo da velha" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2019. Consultado em 17/10/2019 às 06:02. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/desafios/soldes8.php