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Resposta do desafio 189

Quarta potência mais quatro

Vamos realizar algumas modificações na expressão n4 + 4, para colocá-la na forma de um produto.

Começaremos incluindo os termos +4n2 e -4n2, o que não muda em nada o resultado da expressão, pois a soma de ambos é zero. A partir daí podemos aplicar as regras de fatoração.

n4 + 4 =
n4 + 4n2 + 4 - 4n2
=
(n2 + 2)2 - (2n)2   [diferença de dois quadrados]
=
((n2 + 2) + 2n) ((n2 + 2) - 2n)
=
(n2 + 2n + 2) (n2 - 2n + 2)

Chegamos então a um produto, que só pode resultar em um número primo se um dos fatores for igual a 1.

O primeiro fator não satisfaz essa condição, pois claramente percebemos que n2 + 2n + 2 > 1, para n maior ou igual a 1.

Logo, devemos ter o segundo fator igual a 1, ou seja:
n2 - 2n + 2 = 1
n2 - 2n + 1 = 0 (subtraindo 1 em ambos os lados)
(n - 1)2 = 0 => n = 1

Quando n = 1, temos um número primo, pois n4 + 4 = 5. Portanto, esse é o único valor de n para o qual n4 + 4 é primo.

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Como referenciar: "Quarta potência mais quatro" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2020. Consultado em 03/12/2020 às 01:42. Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/desafios/soldes189.php

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