Resposta do desafio 189

Quarta potência mais quatro

Vamos realizar algumas modificações na expressão n⁴ + 4, para colocá-la na forma de um produto.

Começaremos incluindo os termos +4n² e -4n², o que não muda em nada o resultado da expressão, pois a soma de ambos é zero. A partir daí podemos aplicar as regras de fatoração.

Chegamos então a um produto, que só pode resultar em um número primo se um dos fatores for igual a 1.

O primeiro fator não satisfaz essa condição, pois claramente percebemos que n² + 2n + 2 > 1, para n maior ou igual a 1.

Logo, devemos ter o segundo fator igual a 1, ou seja:
n² - 2n + 2 = 1
n² - 2n + 1 = 0 (subtraindo 1 em ambos os lados)
(n - 1)² = 0 => n = 1

Quando n = 1, temos um número primo, pois n⁴ + 4 = 5. Portanto, esse é o único valor de n para o qual n⁴ + 4 é primo.

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