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A distribuição dos números primos

Faremos agora uma incursão em uma das áreas mais antigas e interessantes da Teoria dos Números: a distribuição dos números primos. Essa investigação tem fascinado a mente dos homens desde a antiguidade clássica: como os números primos se distribuem no conjunto dos números inteiros?

O estudo da distribuição dos números primos desenvolveu a teoria das funções de uma variável complexa, em particular, a teoria das funções inteiras. Durante o desenvolvimento dessa investigação, métodos profundos da álgebra e da análise têm surgido, porém nem sempre produzem o sucesso esperado.  Por outro lado, alguns dos resultados mais importantes podem ser obtidos através de raciocínios surpreendentemente simples, mas engenhosos, como é o caso da demonstração de Euclides da infinitude do conjunto dos números primos.

Primeiramente precisamos saber o que é um número primo, sob todos os aspectos da teoria dos números, a noção essencial. Dados dois números inteiros, sua soma, sua diferença e o seu produto também são números inteiros. Contudo o quociente da divisão de um número inteiro por outro pode não resultar em um número inteiro, por exemplo, o resultado da divisão do número inteiro 5 pelo inteiro 3 não é um número inteiro. Esforços na construção de conjuntos que permitissem a obtenção de resultados das operações desejadas levaram os matemáticos a sucessivas generalizações do conceito de número. Por exemplo, se considerarmos o conjunto dos números racionais, isto é, as frações a/b, onde a e b são números inteiros, e b ¹ 0, então o quociente da divisão está sempre definido, ou seja, (a/b) ¸ (c/d) = (ab)/(cd). Entretanto, dados os inteiros a e b, se existe um inteiro q tal que a = bq dizemos que a é divisível por b, ou que b divide a. O número b é um divisor do número a e o número a é um múltiplo do número b. Costumamos indicar o fato de que b divide a da seguinte maneira: b½a. Por exemplo, 2½4 (lê-se que 2 divide 4), 4 é um múltiplo de dois e 2 é um divisor de 4.

Todo número inteiro positivo a que é maior que 1 possui dois divisores óbvios, o 1  e o próprio a. Se além desses divisores o número inteiro a possuir outro divisor, digamos b, 1< b < a, então a é chamado de um número composto.  Caso contrário o inteiro a é chamado um número primo, ou simplesmente um primo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 são números primos, pois têm exatamente dois divisores. O número 6 possui como divisores 1, 2, 3 e 6 e, portanto, é chamado um número composto. Portanto, exceto pelo 1, os números naturais em relação ao seu comportamento quanto à divisibilidade,  se dividem em dois  conjuntos numéricos: os números primos e os números compostos. 

Quando multiplicamos números primos, obtemos um número composto e, reciprocamente, quando isolamos os divisores primos de um número a, representamos a como um produto de fatores primos, i.e.,      Por exemplo, o número 90 é divisível por 2, e assim obtemos:  90 = 2 x 45. Por sua vez 45 é divisível por 3 e, então, 45 = 3 x 15. Se continuarmos com esse processo, obteremos: 90 = 2 x 3 x 3 x 5.

Uma questão interessante é saber se essa decomposição é única. A resposta é afirmativa, ou seja, todo número inteiro positivo pode ser representado como um produto de números primos, e essa representação é única a menos da ordem dos fatores.  Por esse motivo os números primos muitas vezes são chamados de blocos construtores dos números inteiros.

Observamos que existem muitos conjuntos munidos das operações de adição e de multiplicação onde a decomposição em fatores primos não é única, voltaremos a essa questão em outras colunas.

      A representação dos números inteiros como um produto de primos foi durante muito tempo vista como um fato óbvio, porém o matemático Gauss deu uma demonstração dessa afirmação em sua famosa obra Disquisitiones Arithmeticae de 1801. Essa afirmação é conhecida como o teorema fundamental da aritmética (TFA), ou teorema de fatorização única.

Esse teorema mostra que os números primos formam uma base multiplicativa.  Conhecer algumas das propriedades dessa base é bastante importante, pois, tal fato equivale a conhecer algumas propriedades dos números primos.  A primeira questão que surge é relacionada com a infinitude dos números primos, ou seja, existe um número infinito de números primos? A resposta é afirmativa e esse teorema foi demonstrado por Euclides:

Suponhamos  que o conjunto dos números primos, P, seja finito. Seja r o número exato de números primos, ou seja, a cardinalidade do conjunto P. Nesse caso , ... até   que é o maior (e último) dos números primos. Dessa forma enfatizamos que o conjunto P contém todos os números primos existentes. Consideremos agora um novo inteiro n = O TFA afirma que n pode ser fatorado em primos, n = , onde os primos  são elementos do conjunto P e k > 1. Segue que ½n onde  é um primo do conjunto P. Portanto  para algum j onde 1£  j £ r. Conseqüentemente ½ . Sendo  assim ½n  e ½ ; logo ½n - . Por outro lado, n - = 1 e, dessa forma, ½n - = 1, ou seja, ½1, contrário à definição de número primo. Essa contradição mostra que nenhum conjunto finito P pode conter todos os números primos.

Outra questão bastante interessante relacionada aos números primos diz respeito à freqüência de ocorrência dos números primos em sua ordem natural de aparição no conjunto dos números naturais. Em outras palavras, quantos primos existem entre os números naturais 1, 2, ..., X quando X é um número grande? Esse número que, em geral, depende de X, é denotado por p (X), ou seja, p (X) é o número de primos menores ou iguais a X. Por exemplo, p (4) = 2, p (7) = 4.

A primeira conjectura sobre a magnitude de p (X) como função de X foi feita pelos matemáticos Gauss e Legendre, independentemente, no final do Século XVIII. Baseados em extensivos cálculos, Gauss e Legendre fizeram a conjectura que

p (X)     ~     X / log X,

ou seja, p (X) é aproximadamente X / log X quando X é um número natural muito grande. Essa conjectura sugere que o quociente de p (X) por X / log X tende ao limite 1 quando X tende a infinito. Essa formulação é conhecida como o Teorema do Número Primo e foi demonstrada, independentemente, por de la Vallée – Poussin e Hadamard em 1896 utilizando-se de novos e poderosos métodos analíticos da teoria das variáveis complexas. Em 1948 Atle Selberg e Paul Erdös deram outra demonstração sem a utilização de teoria das variáveis complexas. Muitos matemáticos contribuíram para a demonstração do Teorema do Número Primo: Riemann, Mertens, von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée–Poussin, Tchebychev, etc. Essa foi uma das maiores aquisições da matemática do Século XIX e deu origem à Teoria Analítica dos Números.

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