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Equações Diofantinas V

O nascimento da Teoria dos Números Algébricos

Desde o Século XVII, grandes matemáticos tentaram reconstruir a demonstração maravilhosa que Fermat afirmava possuir para o fato de que não tem solução para inteiros positivos quando n > 2. Mas tal demonstração não cabia naquela margem de sua cópia da obra de Bachet: "Arithmetica de Diophantus", obra que consistia do que restou do trabalho de Diophantus. Comenta-se que em 1742, Euler, o maior matemático do século 18, pediu a seu amigo Clerôt para vasculhar a casa de Fermat em busca de algum pedaço de papel com alguma indicação da demonstração do teorema de Fermat, mas nada foi encontrado. Entretanto, Euler deu a primeira demonstração correta, porém incompleta, para o caso do expoente n = 3. No caso em que n = 4 a demonstração é atribuída a Fermat e, como já observamos anteriormente, ela se baseia em uma forma de indução inventada por Fermat denominada de "Método da Descida Infinita". Em 1825, Legendre e Dirichlet, demonstraram independentemente o caso n = 5 utilizando o "Método da Descida Infinita" e, em 1838, Gabriel Lamé demonstrou o caso n = 7, também utilizando o "Método da Descida Infinita".

No Século XIX, a matemática francesa Sophie Germain assumiu a identidade de um homem para conduzir suas pesquisas matemáticas. Ela fez um dos maiores progressos do século na solução do Último Teorema de Fermat (UTF), descobrindo um resultado geral, ao invés da demonstração para um inteiro positivo particular n maior que 2. Ela demonstrou que, se p e 2p + 1 são ambos números primos, por exemplo p = 3 e 2p + 1 = 2.3 + 1 = 7, então não tem solução inteira x, y, z com , mas sob a hipótese de que p não divide xyz. Como um caso especial, ela demonstrou que se, então um dos inteiros x, y e z é divisível por 5.

Na metade do Século XIX os matemáticos desbravaram outras direções para demonstrar o UTF. O maior sucesso foi obtido por Ernest Kummer. Em 1843, Kummer submeteu uma demonstração a Dirichlet, baseada em uma extensão dos inteiros, para incluir os números algébricos, ou seja, números que satisfazem equações de polinômios com coeficientes racionais. Contudo, Dirichlet havia tentado, arduamente, dar uma demonstração do teorema e, assim, detectou uma falha no argumento: Kummer havia assumido que inteiros algébricos admitem decomposição única em primos tal qual ocorre com os números inteiros, mas isso não é verdade em geral. Kummer não se deixou abater e retornou à sua investigação com esforço redobrado. Para garantir a fatorização única, no conjunto dos inteiros algébricos, ele inventou o conceito de números ideais. Incorporando essas novas entidades aos números algébricos, Kummer demonstrou a afirmação para uma grande classe de números primos chamados primos regulares. Embora haja infinitos primos que não são regulares, Kummer mostrou que o teorema era verdadeiro para muitos valores de n. Em particular, mostrou que o teorema era verdadeiro para todos os expoentes primos menores do que 100 exceto para 37, 59 e 67, pois esses são primos irregulares. Por outro lado, toda vez que se demonstra o teorema para um determinado expoente n, ele fica demonstrado para todos os expoentes múltiplos de n e, então, é suficiente demonstra-lo para expoentes primos. Assim, Kummer demonstrou o teorema para todos os múltiplos desses expoentes. A idéia básica dos números ideais deu origem à teoria dos números algébricos, um dos pilares da Teoria dos Números e um dos mais importantes ramos da Álgebra Abstrata conhecido como Teoria de Anéis.

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