Contando as partes de um conjunto

Vamos dar uma pista: olhe bem para a linha n+1 do triângulo de Pascal (há o site Doctor Math na internet onde poderá encontrar o triângulo de Pascal, ou ainda o nosso site www.geloneze.hpg.com.br) e tente interpretar os números que estão nela como fizemos acima. Assim, as partes de {1,2,3} serão em número de 2³=8, ou seja, na quarta linha do triângulo de Pascal você encontra os números 1 3 3 1 cuja soma dá 8. Esses números podem ser interpretados como 1 parte com 0 elementos, 3 partes com 1 elemento, 3 partes com 2 elementos e 1 parte com 4 elementos. Analogamente, você pode concluir que quando o todo tem n elementos, o todo de suas partes tem 2ⁿ. Ah, você queria saber mais detalhes de como se conta as partes de um conjunto, não é? Então vamos a eles. Lembrando da fórmula do binômio de Newton

vemos que os números binomiais indicam exatamente a quantidade de potências que aparecem quando você abre o parênteses no binômio de Newton, isto é, quando multiplica (a+b) por si mesmo n vezes. Confuso? Então vamos ver isso de outro modo. Esse número binomial é o mesmo que o número de combinações de m objetos num conjunto de n objetos: pense em quantas vezes você pode preencher n espaços
__ __ __ ... __
com m símbolos b. Por exemplo, quantas vezes você pode preencher 3 espaços 
__ __ __
com 2 símbolos b? Temos bb__, b__b, __bb.

 É o mesmo que perguntar de quantos modos você pode escolher 2 dos 3 espaços. Portanto, o símbolo ab² vai aparecer 3 vezes quando você abrir o binômio de Newton (a+b)³. Complete seu teste com (a+b)² e (a+b)³. Se você ainda não se convenceu de que os coeficientes do binômio de Newton são os números que dão as combinações de m objetos num total de n objetos, repita seu raciocínio para o caso (a+b)⁴, isto é, calcule quantas escolhas de 1 espaço você tem em 4 espaços, quantas de 2, quantas de 3 e quantas de 4. Quando você se convencer do que dissemos sobre os números binomiais, poderá então facilmente calcular quantos elementos tem as partes de um todo com n elementos: basta somar os números de partes de cada tipo! Isso nada mais é do que a soma dos números binomiais e, portanto, temos 

 (pela fórmula do binômio de Newton)
Se você perguntar quanto é o número binomial , você estará fazendo uma excelente pergunta. Mas olhe como a Matemática pode ser interessante: suspenda um pouco sua pergunta e apenas se preocupe com a soma dos números binomiais, mesmo não sabendo ainda quanto é cada um. Saboreie agora o prazer de saber quanto dá a soma dos números binomiais sem precisar saber quais são eles individualmente! E, de sobra, fique com o conhecimento de como calcular o tamanho (2ⁿ) das partes de um todo com n elementos.

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