O par ordenado
O terceiro axioma nos permitiu formar o conjunto “par”: {a, b}. Você se lembra que esse conjunto só existe se a e b já existirem anteriormente. Não devemos confundir “par” com o conjunto “par ordenado”. “Ordem” em matemática é de fundamental importância. Estamos falando aqui de “relação de ordem”. Para construirmos, no futuro, relações de ordem que nos serão muito úteis, precisamos dar um primeiro passo. O primeiro passo, como provou o astronauta que pisou pela primeira vez na Lua, pode ter um grande significado. Algo parecido aconteceu com a “descoberta” do “par ordenado”. Foi Norbert Wiener quem primeiro “viu” corretamente o que é um par ordenado. Ele teve a feliz intuição de que par ordenado nada mais é do que o conjunto {{a}, {a, b}}. Nesse ponto podemos considerar naturalmente três problemas: o primeiro é saber se o conjunto {a} existe; o segundo é saber se o conjunto {a, b} existe e o terceiro é saber se par ordenado existe. Não devemos esquecer que nossa hipótese é a de que a e b são conjuntos dados. Podemos dizer o seguinte: supondo que a e b são conjuntos existentes, por que também existiriam os conjuntos
{a}, {a, b} e {{a}, {a, b}}?
Você já deve ter notado que o segundo problema foi resolvido pelo terceiro axioma, isto é, o ZF(3). Agora note que se {a} existir, então novamente pelo ZF(3), concluímos imediatamente que o terceiro problema fica resolvido, isto é, que o conjunto par ordenado existe. Resta-nos, portanto, justificar que {a} existe. Não sabemos fazer milagres com a teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel e, sendo assim, a única chance de resolvermos nosso problema é recorrer aos axiomas já assumidos como verdades ou às conseqüências deles que já foram deduzidas. É assim que funciona uma parte da pesquisa matemática. Mas qual dos três axiomas é o que precisamos? Ou será que precisaremos dos três e ainda de mais algumas verdades já deduzidas?
É muito comum em matemática a descoberta de argumentos simples e fulminantes para a demonstração de verdades. É o nosso caso, pois para vermos que o conjunto {a} existe, basta argumentarmos que {a, a} existe pelo axioma ZF(3), já que estamos supondo que a existe!
Na verdade falta-nos apenas um detalhe: por que {a} = {a, a}? Você se lembra da primeira verdade? Vamos recordá-la:
ZF(1) Axioma da Extensão:
se
a e b são conjuntos e se, para todo x
a
se, e somente se, x
b, então a = b.
A primeira verdade da teoria de Zermelo-Fraenkel significa que dois conjuntos são iguais se, e apenas nesse caso, a pertinência de x a um deles é equivalente à pertinência de x ao outro. Ora, não está claro agora que {a} = {a, a}?
Não custa nada enfatizarmos esse ponto pois você pode estar apenas iniciando sua experiência matemática e não ter ainda muita familiaridade com o rigor e a sutileza da matemática: esses dois conjuntos são iguais porque todo x que pertence a um deles pertence ao outro. Note que a palavra todo pode dar a impressão de muitos, mas aqui existe apenas um conjunto (o conjunto a) que faz o papel do x. Fica assim estabelecida a existência do par ordenado {{a}, {a, b}} que indicaremos por (a, b). Lembremos que ainda não sabemos se existe algum conjunto no universo da teoria de Zermelo-Fraenkel. Apenas demonstramos que se existir algum conjunto, então existirá também algum par ordenado. Desafio para você decifrar em uma semana: por que (a, b) ≠ {a, b} ?
