A terna ordenada e os pontos do espaço n-dimensional
Deixamos um desafio para você: convencer-se de que o "complementar de um conjunto em relação a outro" não precisa de novos axiomas para existir. De fato, consideremos um conjunto A e um conjunto B. Vamos pensar no complementar de B em relação a A. Escrevemos: A – B = {x: x pertence a A mas não pertence a B}. Esse conjunto nada mais é do que o conjunto dos conjuntos que pertencem a A e satisfazem uma propriedade P(x).
Ora, a propriedade "x é um conjunto de A que não pertence a B" define um conjunto pelo Axioma 2. Logo, o complementar de B em relação a A existe por causa dos axiomas já admitidos. Analogamente, você pode se convencer de que os outros conjuntos do desafio também existem por causa dos axiomas já admitidos.
Com o axioma da reunião podemos formar o conjunto "terna", generalizando o conceito de conjunto "par". Dados conjuntos A, B e C, definimos, com a ajuda do axioma da reunião, o conjunto {A, B, C} como sendo a reunião dos conjuntos {A}, {B} e {C}. Notem que o conjunto {A} existe por causa do axioma do par que diz que {A, A} é conjunto. Ou seja, {A, A} = {A} é um novo conjunto. Analogamente, os conjuntos {B} e {C} também existem e, portanto, pelo axioma da reunião podemos formar o conjunto reunião {A} È {B} È {C} = {A, B, C}.
Agora estamos interessados na terna ordenada. Dados conjuntos A, B e C, definimos o par ordenado (A,B) usando o Axioma do Par e agora definimos um novo "par ordenado" que é a "terna ordenada": ((A, B), C). Note que
((A, B), C) = {{{{A},{A,B}}}, {{{{A},{A,B}}},C}}
Você pode conferir se as chaves estão corretas? Observe que é muito mais fácil pensar na terna ordenada como ((A, B), C), embora esse "par ordenado" signifique o "complicado" conjunto acima à direita.
A Matemática está repleta de situações como essa, ou seja, de definições por "recursão". Definimos uma terna ordenada por recursão como sendo "um certo par ordenado mais um terceiro conjunto". Da mesma forma podemos definir uma quádrupla ordenada, uma quíntupla ordenada, ... , uma "n-upla" ordenada, etc. Se um físico imaginar uma quantidade como sendo um conjunto, então ele poderá imaginar facilmente um ponto no espaço como "uma n-upla ordenada" de quantidades. Por exemplo, (x, y, z, t), a quádrupla das três quantidades que dão a localização espacial de uma partícula e do instante em que isso ocorre. Sabemos agora que (x, y, z, t) = ((x, y, z), t) = (((x, y), z), t). Um físico tem, então, à sua disposição "tantas coordenadas" quantas quiser. A teoria das supercordas considera que 11 é um número bem plausível para o número correto de coordenadas do nosso universo.
Os geômetras também tem à sua disposição o espaço de pontos numerados da Geometria Analítica inventada por Renée Descartes e Pierre de Fermat.
Poderíamos agora enveredar pela avenida da Geometria ou pela avenida da Física. Mas ainda não temos uma boa teoria do universo dos números. Preferimos ter um pouco de paciência e descobrir com calma os fundamentos que nos ajudarão a levantar o edifício da Matemática.
Precisamos agora do "conjunto potência". Isto é, precisamos de um novo axioma que nos garanta a existência das "partes de um conjunto". É uma noção intuitiva a das partes de um conjunto. Mas por que podemos "pensar nelas"? É justamente o Axioma 6 que nos permite supor que as partes de um conjunto são conjuntos legítimos para o nosso pensamento. Na próxima coluna entraremos em detalhes da existência das partes de um conjunto.
