A sexta verdade
Já sabemos como fazer proliferar os objetos do mundo dos conjuntos. Se existe um conjunto C, então existe um par {C, C} e, portanto, existe o conjunto {C} e, portanto, existe o conjunto {C, {C}} e, portanto, existe o conjunto... Assim, já somos capazes de obter “uma infinidade de conjuntos” fazendo proliferar novos conjuntos a partir apenas de um conjunto.
Agora vamos fazer proliferar novos conjuntos “por dentro” de um conjunto dado. Isto é, vamos “fazer aparecer” novos conjuntos a partir de um conjunto dado, mas por dentro dele. É o Axioma 6, o axioma das partes de um conjunto que nos permite aumentar a população de objetos do universo matemático que temos até o presente momento.
É uma noção intuitiva a noção das partes de um conjunto. Mas por que podemos “pensar nelas”? É justamente o Axioma 6 que nos permite supor que as partes de um conjunto são conjuntos legítimos para o nosso pensamento.
Axioma 6
Para cada conjunto C,
existe um conjunto P(C) tal que se A está contido em C, então A
pertence a P(C).
Por exemplo, quais são as partes do conjunto C = {0, 1, 2, 3}? Como o conjunto vazio Æ está contido em qualquer conjunto, então ele está contido em C. Logo, o conjunto vazio Æ é um conjunto que pertence às partes de C, isto é, Æ pertence ao conjunto P(C). Bem, quais são todos os outros conjuntos que pertencem às partes de C? Vamos, primeiramente, enumerar todos aqueles que possuem apenas um conjunto: {0}, {1}, {2}, {3}. Agora vamos enumerar todos aqueles conjuntos que possuem dois conjuntos: {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Agora vamos enumerar todos aqueles conjuntos que possuem três conjuntos: {0, 1, 2}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}. Finalmente, vamos enumerar todos aqueles conjuntos que possuem quatro conjuntos: {0, 1, 2, 3}.
Você observou que utilizamos a noção de “um”, “dois”, “três”, “quatro”, para resolver o problema de achar todas partes do conjunto C? Vamos admitir, por enquanto, que já sabemos o que são essas “entidades”. Veremos, em breve, que essas entidades são nada mais do que os números naturais, ou seja, os primeiros números que surgem “naturalmente” logo no início de nossa investigação de uma teoria dos conjuntos. Por outro lado, você foi capaz de entender perfeitamente o nosso “raciocínio” para obter o conjunto das partes do conjunto C.
Obtivemos “16” partes para o conjunto C = {0, 1, 2, 3}. Se o nosso conjunto C fosse o conjunto {0, 1, 2, 3, 4} obteríamos “32” partes. Você saberia o por quê disso? Vamos deixar esse desafio para você resolver até a próxima coluna: quando um conjunto tem n conjuntos, então o seu conjunto de partes tem a potência 2n , isto é, a quantidade de conjuntos de P(C) é “dois elevado a n”. No nosso exemplo, haverá “dois à quinta” partes no conjunto {0, 1, 2, 3, 4}. Foi calculando essa “potência” que ficamos mais sossegados com o resultado obtido no caso das dezesseis partes porque nos convencemos de não ter esquecido de nenhuma parte.
É interessante notar que essa “lei” de potência para testar se o número obtido de partes está correto também vale para o caso extremo do conjunto vazio. Perguntamos: quantas e quais são as partes do conjunto vazio? Resposta: dois elevado a 0! Mas, por outro lado, sabemos facilmente que o conjunto vazio só tem uma parte, a saber, a parte vazia. É por isso que dizemos que “dois elevado a zero é um”. Mas isso nos traz um problema intrigante: quanto é a potência “n elevado a zero”?
