A intuição tem um importante papel de guia para a verdade
Para quem começa a estudar matemática, uma pergunta aparentemente muito difícil de se responder é a seguinte: como eu faço para saber qual é a próxima verdade que está ao meu alcance demonstrar? Há mais de 2500 anos os matemáticos gregos descobriram que a "intuição humana" é um dos principais recursos na investigação matemática, e que ela serve de "guia da razão humana". Euclides recorria a figuras para se inspirar em suas descobertas geométricas e para guiar suas demonstrações.
Vamos utilizar nossa "intuição topológica (do espaço)" para inspirar nossa investigação dos conjuntos. Comecemos com uma figura.
Quantas regiões podemos identificar na figura acima? Imediatamente notamos quinze regiões interessantes: (1) A região branca mais a amarela, a azul e a verde juntas formam o "universo". (2) A região verde. (3) As regiões branca, amarela e verde. (4) As regiões branca, azul e verde. (5) As regiões amarela, azul e verde. (6) As regiões branca e amarela. (7) As regiões branca e azul. (8) As regiões branca e verde. (9) As regiões amarela e azul. (10) As regiões amarela e verde. (11) As regiões azul e verde. (12) A região branca. (13) A região amarela. (14) A região azul. (15) A região verde.
Como podemos tornar essas "intuições" conceitos matemáticos? Como podemos descrever essas regiões como conjuntos? Podemos começar com um conjunto que contém todos os demais, isto é, definimos o conjunto universo U. Para definirmos os outros conjuntos nós nos guiaremos pela "intuição" das figuras. A nossa primeira tarefa é definir a "união de dois conjuntos", depois definiremos a "intersecção de dois conjuntos", depois o "complementar de um conjunto", depois a "diferença de dois conjuntos", depois a "diferença simétrica de dois conjuntos".
A região amarela mais a região azul mais a região verde formam o todo de A e B: escreveremos AÈ B. A região azul é a parte que está tanto no conjunto A como no conjunto B: escrevemos AÇ B. A região amarela é a parte do conjunto A que não está no conjunto B, escrevemos A-B, e a região verde é a parte do conjunto B que não está no conjunto A e escrevemos B-A. Cada um desses dois conjuntos chamamos de "diferença" entre dois conjuntos. Podemos ver A – B como o "conjunto complementar de B em A", isto é, o conjunto dos conjuntos que pertencem a A mas não pertencem a B. Diremos então que U – A é o "conjunto complementar de A", isto é, é o conjunto dos conjuntos do universo que não pertencem a A. Se unirmos as diferenças entre A e B e entre B e A, teremos a "diferença simétrica de A e B", que será escrita pelo símbolo A D B.
O nosso grande problema nesse momento é mostrar que todas essas definições são permitidas pelos axiomas. Em outras palavras, precisamos mostrar que a nossa "intuição" pode ser perfeitamente representada pela "teoria" que temos até agora.
