A terna ordenada
Com a terceira verdade da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pudemos definir o par ordenado que tem grande importância na questão da ordem em toda a Matemática. O leitor deve notar que a definição de Norbert Wiener de par ordenado (a,b) = {{a}, {a,b}} pode parecer, à primeira vista, chocante. Não é de se estranhar a estória que se conta de que, certa vez, Norbert Wiener visitando a Itália, proferiu uma palestra para matemáticos e cientistas, na qual estava presente o famoso matemático italiano Giuseppe Peano, e na qual Wiener mostrou sua definição de par ordenado. Peano teria ficado visivelmente chocado pelo fato de uma definição tão precisa, tão rigorosa e tão simples não ter sido descoberta por ele próprio.
Leitores poderão se sentir incomodados por essa definição por outros motivos. É útil insistirmos um pouco nessa noção de par ordenado. Você deve ter em mente que (a,b) = {{a}, {a,b}} também pode ser escrito como (a,b) = {{a,b}, {a}}, ou seja, não importa em que “ordem” você escreve os conjuntos {a,b} e {a}, isso não muda a ordem de a e b no par ordenado (a,b). Mas é claro que se você mexer na ordem em (a,b), aí sim você terá outro conjunto: (b,a) = {{b}, {a,b}}.
Você também deve notar que a definição de par ordenado não tem nada a ver com outros conceitos como plano Euclidiano, eixos de referência, etc. A definição de Wiener é muito enxuta, não depende de nada a não ser da noção de conjunto. Ela é um exemplo elegante do poder da Matemática em produzir informações claras, precisas e concisas.
Deixamos, na última coluna, um “Desafio para você decifrar em uma semana: por que (a, b) ≠ {a, b} ?” Certamente você já deve ter pensado na solução correta. Só para termos certeza de que todos entenderam, vamos dar aqui uma demonstração. O conjunto {a,b} não é o par ordenado (a,b) simplesmente porque existem conjuntos em {a,b}, por exemplo, b, que não pertencem ao conjunto (a,b).
Deixaremos ainda um
Desafio: por que b não pertence a (a,b)?
Para reforçarmos um pouco mais a noção de par ordenado, vamos definir o terno ordenado: (a,b,c) = {{a},{a,b},{a,b,c}}. Agora deixamos para você o desafio de escrever todos os ternos ordenados que podemos obter com o conjunto {a,b,c}.
Novamente a noção de terno ordenado não tem nada a ver com a noção de referencial com três eixos coordenados. É claro que podemos usar a noção de terno ordenado para estudar geometria e/ou física, em particular, para indicarmos a posição de uma partícula no espaço tri-dimensional. Mas a definição de terno ordenado só requer a noção de conjunto e de formação de conjunto, isto é, um dos axiomas da Teoria de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel.
O conceito de ordem é fundamental em Matemática. Sendo assim, é importante que sejamos capazes de conceber da maneira mais simples possível os pares ordenados, os ternos ordenados, as quádruplas ordenadas, etc. No futuro falaremos mais sobre a ordem na Matemática.
Lembremos mais uma vez, que ainda não sabemos se existe alguma coisa em nosso universo de conjuntos. Mas já sabemos que se existirem dois conjuntos a e b, então existirão conjuntos chamados “pares ordenados”, “ternos ordenados”, quádruplas ordenadas, etc. Ainda temos muito que caminhar. Mas o caminho é interessante e surpreendente. Não é possível prever quais objetos matemáticos, ou quais “coisas” serão descobertas no universo da matemática. Mas você pode estar certo que continuará sendo um caminho fascinante.
