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Equações de uma reta

Equação geral

   Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.

   Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

    Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos:

ax + by + c = 0

(equação geral da reta r)

   Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n):

  • se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta;

  • se am + bn + c 0, P não é ponto da reta.

                                        Acompanhe os exemplos:

  • Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

        Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

  • Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:

-3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0

   Como a igualdade é verdadeira, então P r.

   Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1 - 2 + 2 0

   Como a igualdade não é verdadeira, então Q r.

 

Equação segmentária

   Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

   A equação geral de r é dada por:

    Dividindo essa equação por pq  , temos:

    Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

       

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