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Propriedades das proporções

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

        Demonstração
        Considere as proporções:

propor4.gif (192 bytes) propor35.gif (200 bytes)
  

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

propor31.gif (467 bytes)
  
propor33.gif (278 bytes)

propor32.gif (453 bytes)

propor34.gif (268 bytes)

       Exemplo:

  • Determine x e y na proporção propor36.gif (196 bytes), sabendo que x+y=84.
    Solução:

            propor37.gif (389 bytes)

            Assim:

            propor38.gif (417 bytes)

            x+y = 84   =>   x = 84-y   =>    x = 84-48   =>   x=36.

            Logo, x=36 e y=48.

 

        2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo,
assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

        Demonstração
        Considere as proporções:

propor4.gif (192 bytes) propor35.gif (200 bytes)
  

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

propor39.gif (450 bytes)
  
propor43.gif (260 bytes)

propor40.gif (426 bytes)

propor41.gif (256 bytes) (Mult. os 2 membros por -1)

propor42.gif (251 bytes)

Exemplo:

  • Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção propor44.gif (194 bytes).
    Solução:

            Pela 2ª propriedade temos que:

            propor45.gif (663 bytes)

            x-y = 18   =>   x=18+y   =>   x = 18+12    =>   x=30.
  
         Logo, x=30 e y=12.

 

        3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.

        Demonstração
        Considere a proporção:
       
propor4.gif (192 bytes)

        Permutando os meios, temos:
       
propor46.gif (199 bytes)

        Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
       
propor47.gif (268 bytes)

        Permutando os meios, finalmente obtemos:

propor48.gif (307 bytes)

 

        4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente.

        Demonstração
        Considere a proporção:
       
propor4.gif (192 bytes)

        Permutando os meios, temos:
       
propor46.gif (199 bytes)

        Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:
       
propor49.gif (254 bytes)

        Permutando os meios, finalmente obtemos:

propor50.gif (291 bytes)

       Exemplo:

  • Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção propor55.gif (190 bytes).
    Solução:

            Pela 4ª propriedade, temos que:

            propor56.gif (286 bytes)

            propor57.gif (849 bytes)

 

        5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes,
assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.

        Demonstração
        Considere a proporção:
       
propor4.gif (192 bytes)

        Multiplicando os dois membros por propor51.gif (137 bytes), temos:

            propor52.gif (463 bytes)

        Assim:

            propor53.gif (329 bytes)

        Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:
       
propor54.gif (450 bytes)

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Veja também:  Proporção múltipla

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