📄 Números primos
📄 Decomposição em fatores primos
📄 Como encontrar os divisores de um número
📄 Máximo divisor comum (MDC)
📄 Mínimo múltiplo comum (MMC)
Mínimo múltiplo comum (MMC)
Múltiplos de um número natural
Os múltiplos de um número são obtidos multiplicando esse número por 0, 1, 2, 3 e assim por diante.
Múltiplos de 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, ...
- todo número natural positivo possui infinitos múltiplos;
- zero é múltiplo de qualquer número natural;
- todo número natural é múltiplo de 1 e de si mesmo.
O que é MMC?
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais positivos é o menor múltiplo comum diferente de zero. Usamos a abreviação MMC.
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, ...
O menor múltiplo comum positivo é 12. Portanto, MMC(4, 6) = 12.
Cálculo do MMC pela fatoração
Primeiro decompomos cada número em fatores primos, dividindo-o sucessivamente pelo menor número primo possível até chegar a 1:
| 12 | 2 |
| 6 | 2 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
30 = 2 × 3 × 5
Em seguida, escolhemos todos os fatores que aparecem, sempre com o maior expoente:
| Fator primo | Expoente em 12 | Expoente em 30 | Maior expoente |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 1 | 1 |
| 5 | 0 | 1 | 1 |
MMC(12, 30) = 2² × 3 × 5 = 60
Decomposição simultânea
Também podemos dividir vários números ao mesmo tempo por fatores primos. Em cada linha, dividimos os números que forem divisíveis pelo fator escolhido e repetimos os demais. O processo termina quando todos chegam a 1.
| 1º número | 2º número | 3º número | Fator primo |
|---|---|---|---|
| 15 | 24 | 60 | 2 |
| 15 | 12 | 30 | 2 |
| 15 | 6 | 15 | 2 |
| 15 | 3 | 15 | 3 |
| 5 | 1 | 5 | 5 |
| 1 | 1 | 1 | — |
MMC(15, 24, 60) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120
Exemplo de aplicação
Dois ônibus partem juntos de um terminal. Um deles retorna a cada 12 minutos e o outro a cada 18 minutos. Depois de quanto tempo voltarão a partir juntos?
- Procuramos o menor tempo que seja múltiplo de 12 e de 18.
- 12 = 2² × 3 e 18 = 2 × 3².
- MMC(12, 18) = 2² × 3² = 36.
Propriedades do MMC
- Se um dos números é múltiplo de todos os outros, ele é o MMC. Assim, MMC(3, 6, 30) = 30.
- Se dois números são primos entre si, seu MMC é o produto deles. Assim, MMC(4, 15) = 4 × 15 = 60.
- Para dois números naturais positivos a e b: MDC(a, b) × MMC(a, b) = a × b.
Exemplo da relação: MDC(12, 18) = 6 e MMC(12, 18) = 36. Então 6 × 36 = 216, exatamente o mesmo resultado de 12 × 18.
