📄 Números primos
📄 Decomposição em fatores primos
📄 Como encontrar os divisores de um número
📄 Máximo divisor comum (MDC)
📄 Mínimo múltiplo comum (MMC)
Máximo divisor comum (MDC)
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais positivos é o maior número que divide todos eles sem deixar resto. Usamos a abreviação MDC.
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 e 18.
Os divisores comuns são 1, 2, 3 e 6. O maior deles é 6; portanto, MDC(12, 18) = 6.
Cálculo do MDC pela fatoração
Primeiro decompomos cada número em fatores primos, dividindo-o sucessivamente pelo menor número primo possível até chegar a 1:
| 36 | 2 |
| 18 | 2 |
| 9 | 3 |
| 3 | 3 |
| 1 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 |
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5
Em seguida, escolhemos somente os fatores comuns, sempre com o menor expoente em que aparecem:
| Fator primo | Expoente em 36 | Expoente em 90 | Menor expoente |
|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 1 | 1 |
| 3 | 2 | 2 | 2 |
| 5 | 0 | 1 | 0 |
MDC(36, 90) = 2¹ × 3² = 18
Processo das divisões sucessivas
Também chamado de algoritmo de Euclides, esse processo substitui repetidamente o par de números pelo divisor e pelo resto da divisão. Quando o resto se torna zero, o último divisor é o MDC.
| Divisão | Quociente | Resto |
|---|---|---|
| 48 ÷ 30 | 1 | 18 |
| 30 ÷ 18 | 1 | 12 |
| 18 ÷ 12 | 1 | 6 |
| 12 ÷ 6 | 2 | 0 |
O último divisor utilizado foi 6. Logo, MDC(48, 30) = 6.
Exemplo de aplicação
Uma pessoa possui duas fitas, uma com 48 cm e outra com 30 cm. Ela quer cortá-las em pedaços de mesmo comprimento, tão grandes quanto possível e sem desperdício. Quanto deve medir cada pedaço?
- Procuramos o maior comprimento que divide 48 e 30.
- MDC(48, 30) = 6.
Números primos entre si
Dois ou mais números são primos entre si quando seu MDC é igual a 1. Isso não significa que cada número precisa ser primo.
- 8 e 15 são primos entre si, pois MDC(8, 15) = 1, embora ambos não sejam primos;
- 21 e 35 não são primos entre si, pois MDC(21, 35) = 7.
Propriedade importante
Se um dos números divide todos os outros, ele próprio é o MDC. Por exemplo, 6 divide 18 e 30; por isso:
MDC(6, 18, 30) = 6
