Integração por partes

Dedução da fórmula para a integração por partes

Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto, 

Integrando ambos os lados, obtemos

ou

ou

Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos

a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples.

Na prática, é usual reescrever (1) fazendo

u=f(x),          du=f '(x)dx  

,     

Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1):

(2)

Exemplo

Calcule

Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma

Uma maneira de fazer isso é colocar

para que,

Deste modo,a partir de(2)