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Sistemas Lineares

  Classificação de um sistema quanto ao número de soluções

Resolvendo o sistema , encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema , verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).

Para , verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

   
Resumindo, um sistema linear pode ser:

  a) possível e determinado (solução única);
  b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
  c) impossível (não tem solução).

 

  Sistema normal

Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero.

Se m=n e det A 0, então o sistema é normal.

 

 Regra de Cramer

Todo sistema normal tem uma única solução dada por:

em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e Dxi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

 

  Discussão de um sistema linear

Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

 a) possível e determinado, se D=det A0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

m=n=3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

 

 b) possível e indeterminado, se D= Dx1 = Dx2 = Dx3 = ... = Dxn= 0, para n=2. Se n3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais.

Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.

Exemplo:

D=0, Dx =0, Dy=0 e Dz=0

Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.
  

       

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